俄罗斯套娃（俄语：матрёшка），是俄罗斯民族特色的木制玩具，一般由多个一样图案的空心木娃娃一个套一个组成，最多可达十多个，通常为圆柱形，底部平坦可以直立。如果不太了解俄罗斯套娃是什么，请打开下面的俄罗斯套娃3D视频观看。
格物致知，你从俄罗斯套娃视频中感悟到了什么呢？也许有，但无法用语言表达出来。不要紧，俄罗斯套娃的思想投影到数学里就是“化归思想”了。
化归思想：一个大问题想不出解决办法，但知道同类的规模较小的问题的解决办法，于是尝试把问题减少一个单位，解决变化情况，如此类推，直到能解决的程度。
化归思想也可以直接解决数学问题。例如，求前n个奇数和：
1+3+5+....+[2(n-1)+1]=?。
首先，我们知道，前1个奇数的和是1，这个问题可以用化归思想解决。先把问题转化为：
{1+3+5+....+[2(n-2)+1]}+[2(n-1)+1]=?。
显然，大括号里的问题是原问题的套娃，因此只需要解决[2(n-1)+1]项的问题。把它转化为：
2(n-1)+1 = (n-1) + 1 +(n-1)。
根据数形结合，上面整式可以用下面的图形表示：
看了上图后，你应该得到了答案：
1+3+5+....+[2(n-1)+1]=n²。
数学化归思想应用到编程，就是“递归”。
下面先编写一个Python程序验证上面的结果。
。
运行结果：
练习题1：用化归思想推导下面式子的公式，然后编写Python递归程序验证。
1+7+...+[3(n-1)²+3(n-1)+1]=?。
练习题2：用化归思想推导（凸）n(n≥3)边形内角和公式，然后编写Python递归程序验证。
我们日常生活中的“套娃”：“从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事，讲的什么故事？从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事，讲的什么故事？从前有座山……”。这种套娃和俄罗斯套娃有什么区别？
第一点，“套娃”没有结束条件，“俄罗斯套娃”受加工条件限制，最多十多个；
第二点，“套娃”的每次copy没有缩小规模，“俄罗斯套娃”要套在里面，所以要越来越小。
显然，这个故事不符合“俄罗斯套娃”思想，也就是数学的化归思想，当然不是递归了。
在《Python算法图解》中提出把这故事改编为递归的故事，原文如下：
这个例子近似于递归现象，但是严格来说并不是递归，因为该例子会一直重复下去，没有终止条件，那就成了死循环。加个条件，就成了递归。例如：从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚和小和尚，如果小和尚没睡着，老和尚就讲故事；从前有座山，山里有座庙…如果小和尚睡着了，老和尚就停止讲故事（这时递归调用就停止了）。
虽然加了结束条件，但每次copy没有缩小规模，从严格意义上来说，还不是递归。
从编程方面来说，计算机是无法理解所谓“规模”的，递归算法只是程序中的函数（有返回值）或过程（无返回值函数）调用自身的编程技巧。“调用自身”是“递”的过程，如果没有有效的终止调用自身的条件——“归”，最终会产生程序堆栈溢出错误。设置有效的终止条件是程序员的责任，计算机帮不上忙。设置有效的终止条件方法如下：
第一步：选定条件变量；
第二步：条件变量在函数调用自身时如何变化；
第三步：构建条件表达式；
第四步：判断条件是否能达到和不总是达到。
例题1：输入1个2≤n≤64的正整数n，用递归法计算1/2+1/4+1/8+...直到最后一项≤1/n的和。
分析：第一步，选定数列的项序数（1,2,3,......）为条件变量；第二步，函数调用自身时条件变量增加1；第三步，根据最后一项≤1/n的条件，得条件表达式pow(2, 条件变量)>=n；第四步，随着项序数增加，pow(2, 条件变量)增大，最终一定会超过或达到n。
程序编码：
运行结果：
练习题3：如果把例题1的代码改为下图的样子，请完善代码。
递归代码虽然简单，但它是内存吃货，甚至会把电脑卡死。因为每次递归调用都要把现场压入运行堆栈，如果现场状态太多或递归次数太大，还没到递归终止，运行堆栈就溢出了。所以，除非其他方法（例如循环）无法实现才采用递归算法，而且尽量使递归部分简单，设置限制范围使递归的次数尽量少。
最后，把上面故事改成下面这样更符合递归：
从前有座山，山里有片树林，风吹着树林沙沙作响，树林里有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事，声音越来越小，越来越慢，最后湮没在风声中就停止了，讲的是什么故事呢？从前有座山，山里有片树林，风吹着树林沙沙作响，树林里有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事，声音越来越小，越来越慢，最后湮没在风声中就停止了，讲的是什么故事呢？从前有座山，......
参考资料：
１、强基初中数学&学Python——第十六课 “套娃多项式”探究
２、强基初中数学&学Python——第136课 多边形、化归思想与递归算法
３、《Python算法图解》何韬编著 清华大学出版社