观察平方数：1²=1，2²=4，3²=9……。可见1的平方数是1，2的平方数是4，倒过来说，1是1的平方数，4是2的平方数。很自然就联想到2是什么数的平方数呢？或者说是否存在一个数，它的平方数是2的呢？

    下图中，两个面积为1dm²的小正方形，对角线切开后可以拼接成一个面积为2dm²的大正方形。

    由于正方形的面积是边长的平方，所以大正方形的边长的长度数值的平方数是2，这就充分说明平方数是2的数确实存在！

    平方数是2的数的数究竟有多大呢？设这个数是x，得到下面方程：

x²=2

因为1²=1，2²=4，

所以1<x<2；

因为1.4²=1.96，1.5²=2.25，

所以1.4<x<1.5；

因为1.41²=1.988，1.42²=2.0164，

所以1.41<x<1.42；

因为1.414²=1.999396，1.415²=2.002225，

所以1.414<x<1.415；

……

    显然x是一个小数，那它是不是一个有限位小数或无限位循环小数呢？因为有限位小数或无限位循环小数都可以转化为分数，所以我们假设存在两个互质正整数p，q，使得：

x=p/q，

于是p=xq，

两边平方得p²=x²q²，

由于x²=2，

所以p²=2q²，

由2q²是偶数得p²是偶数，

由于只有偶数的平方才是偶数，

所以p是偶数；

设p=2s（s是一个正整数），由p²=2q²得：

4s²=2q²，

即q²=2s²，

同理可得q也是偶数；

p，q同是偶数与开始的假设“两个互质正整数”相矛盾，

所以x不是有限位小数或无限位循环小数，

但又确实存在的数！

    整数和分数都是明明白白的存在，但这种数像是“无理取闹”的存在，古代数学家们搞不清它们有什么规律，他们所熟知的数（整数和分数）的范畴也容不下它们，就叫它“无理数”。无理数并非无理，因为存在就是有理。

练习题：

    勾股定理：直角三角形的直角边平方和等于斜边的平方。利用勾股定理，构造出面积是3dm²的正方形。

学Python：

    用Python推算平方数是2的数到小数点后100位。

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