上一课中，我们虽然把平方后是2的数推算到小数点后100位都没发现循环节，但这也不能说明这数没有循环节，所以还是要证明它不是有限小数或循环小数。第二课中已经给出了证明，但考虑到初一学生的实际情况，在这一课对这个证明做详细的解说。

    什么是“证明”？

    首先，证明的依据是公理和公理上推导出来的定理。无理数证明中所用的依据列举如下：

    （1）定理：一定存在两个互质的正整数p和q组成的分数表示正有限位小数和正无限位循环小数；

    （2）定理：等式两边同时平方等式不变（由公理等式两边同时乘一个数等式不变和公理等式中的量用等量代替等式不变推导而来）；

    （3）公理：等式中的量用等量代替等式不变；

    （4）公理：正偶数表达式=2s（s是正整数）；

    （5）定理：平方后是正偶数的正整数一定是正偶数（可由正偶数表达式推导而得）；

    （6）定理：两个正偶数至少有公因数2，不是互质数。

    其次，证明符合演绎逻辑过程。

    先看亚里士多德三段论：

    （一）人都会死；

    （二）苏格拉底是人；

    （三）苏格拉底会死。

第一句是“大前提”，说的是某一类事物（人）的共同属性或规律（会死）；第二句是“小前提”，说的是某个对象（苏格拉底）属于那个分类（人）；第三句是“结论”，说的是这个对象（苏格拉底）的属性或规律（会死）。

    从亚里士多德三段论中看出演绎逻辑推理的方法：

    第一步：找到对象所属的分类；

    第二步：了解这个分类的共同属性和规律；

    第三步：得到这个对象也具有这样的属性和规律的结论。

    实际的证明往往从分类的共同属性和规律不能直接得到，还需要联合对象的特性和满足的条件，才能推导出对象具有的规律（结论）。也就是说三段论中的第三步需要变换和因果推理等逻辑推理才能得到结论。

    下面是一个用变换去证明的简单例子：

    直角三角形的直角边是a和b，斜边是c，证明a²=c²-b²。

证明：

因为是直角三角形，

所以c²=a²+b²；

通过移项变换得到：

a²=c²-b²，

证毕。

    因果推理就是符合一定条件会产生一定的结果。主要有三种：

    （一）充分条件；

    （二）必要条件；

    （三）充分必要条件。

    充分条件就是符合一定的条件，就一定会产生这个结果。例：因为天下雨，所以露天运动场地面湿了。

    必要条件就是不符合一定条件，就一定不会产生这个结果。例：因为天上一朵云都没有，所以现在不会下雨。

    充分必要条件就是既是充分条件，又是必要条件。例：a是非零数，如果a×b=0，则b=0（充分条件）；如果a×b≠0，则b≠0（必要条件）。

    证明例题：m和n是两条平行线，证明三角形ABC和三角形ABD的面积相等。

证明：作三角形ABC的顶点C的高CE和三角形ABD的顶点D的高DF，

因为三角形ABC的面积=½AB×CE；三角形ABD的面积=½AB×DF；

因为直线m和n是平行线，平行线间的距离全部相等，所以CE=DF；

因为CE=DF，所以½AB×CE=½AB×DF；

因为½AB×CE=½AB×DF，所以三角形ABC的面积=三角形ABD的面积。

证毕。

    无理数的证明与上面的证明有不一样的地方，因为我们要证明的是“大前提”（不是整数和分数），所以只有采用反证法。所谓反证法也叫归谬法，就是假设符合一定条件，通过正常转化或因果等逻辑推演，得到荒谬的结论。

    用反证法证明：小明的母亲是李女士；他同学小黄的母亲也是李女士，小黄的母亲只有一个孩子，证明小明的母亲不是小黄的母亲。

    证明：假设小明的母亲也是小黄的母亲，由于小黄的母亲只有一个孩子，那么小明就是小黄，与小黄是小明的同学相矛盾，所以小明的母亲不是小黄的母亲。

    回顾一下无理数的证明：

练习题：用反证法证明平行四边形在变形的过程中（未有边重叠，边长保持一定）保持着是平行四边形结构。

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