如果把整式乘法看作一个运算，那它的逆运算就是除法；如果把整式乘法看作一个过程，那它的逆过程就是因式分解（或分解因式，factorization）。因此，因式分解实际上就是正式除法的换一种说法。至于为什么要换一种说法，大概是便于用数学来分析现象的原因。
一、提公因式法
我们看多项式
pa+pb+pc，
它的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式各项的公因式( common factor)。
由
p(a+b+c)=pa+pb+pc，
可得
pa+pb+pc=p(a+b+c)。
这样就把
pa+pb+pc
分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式p，另一个因式a+b+c是pa+pb+pc除以p所得的商。
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做“提公因式法”。
例1
例2
二、公式法
1、整式乘法的平方差公式
(a+b)(a-b)=a²-b²
的等号两边互换位置，就得到
a²-b²=(a+b)(a-b)，
即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
2、把整式乘法的完全平方公式
(a+b)²=a²+2ab+b²，
(a-b)²=a²-2ab+b²
的等号两边互换位置，就得到
a²+2ab+b²=(a+b)²，
a²-2ab+b²=(a-b)²，
即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。
三、解方程法（适合一元多项式）
不做一般描述，用例说明。把
x³-1
进行因式分解。
第一步，把整式变为方程：
x³-1=0；
第二步，解方程：
x³=1，
x=1；
第三步，构建因式：
x-1；
第四步，用竖式进行整式除法：
第五步，把除式与商式相乘作为结果：
x³-1=(x-1)(x²+x+1)。
注：如果商式还可以分解因式，需要继续分解。
四、x²+(p+q)x+pq型一元二次式因数分解法
我们发现
(x+p)(x+q)=x²+(p+q)x+pq
倒过来
x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。
这个规律说明，只要把常数项分解为2个因数（注意正负号）的积，这两个因数的和等于一次项系数即可。
例如，分解因式
x²+3x+2，
2=1×2，1+2=3，
所以
x²+3x+2=(x+1)(x+2)。
五、abx²+(bp+aq)x+pq型一元二次式因数分解法
我们发现
(ax+p)(bx+q)=abx²+(bp+aq)x+pq
倒过来
abx²+(bp+aq)x+pq=(ax+p)(bx+q)。
这个规律说明，只要把二次项和常数项都分解为2个因数（注意正负号）的积，这两对因数交叉积
的和等于一次项系数即可。
例，分解因数
6x²+13x+2。
6=1×6，2=1×2，容易看到6×2+1×1=12+1=13，交叉式表示
，
可得
6x²+13x+2=(x+2)(6x+1)。
六、练习题
1、分解因式：
（1）24abc-8a²b²
（2）9a(x-y)-7b(y-x)
（3）-4x ²+9y²
（4）x²y-81y
（5）49a²-169b²
（6）-a^4+256 注：a^4表示a的4次方。
（7）36a²-b²/121
（8）16a²-8a+1
（9）ax²+6a²x+9a³
（10）x²-30x-99
（11）x²+15x-100
（12）12x²+41x+35
（13）15x+21x-18
（14）x³+27
（15）2x³-686
2、在实数范围内分解因式：
（1）3x³-2x
（2）x^4-4 注：x^4表示x的4次方
3、已知49x²+nxy+169y²是完全平方式，求n的值。
4、观察下面式子：
1×5+4=3²
2×6+4=4²
3×7+4=5²
7x11+4=9²
......
请用一个一元多项式表示这些等式，然后证明等式成立。
5、观察下面运算：
15×15=1×2×100+25=225，
25×25=2×3×100+25=625，
35×35=3×4×100+25=1225，
......
用一条一元整式的等式表示，并证明。
6、发现规律
（1）计算下列两个数的积（这两个数的十位上的数相同，个位上的数的和等于10），你发现结果有什么规律？
53×57，38×32，84×86，71×79
（2）你能用本章所学知识解释这个规律吗？
（3）利用你发现的规律计算：
58×52，63×67，75²，95²
七、Python学习时间
用Python实现x²+(p+q)x+pq型一元二次式因数分解法。
Python代码：
#x²+(p+q)x+pq型一元二次式因数分解法
#检查是否通过，如果通过就打印，返回True
def checkAndPrint(p_q, pq, sym, p, q):
if sym > 0:
if p_q > 0:
if p_q == p + q:
print("x²+%dx+%d=(x+%d)(x+%d)" %(p_q, pq, p, q))
return True
else:
if -p_q == p + q:
print("x²-%dx+%d=(x-%d)(x-%d)" %(-p_q, pq, p, q))
return True
else:
if p_q > 0:
if p_q == abs(p - q):
if p > q:
print("x²+%dx-%d=(x+%d)(x-%d)" %(p_q, pq, p, q))
else:
print("x²+%dx-%d=(x-%d)(x+%d)" %(p_q, pq, p, q))
return True
else:
if -p_q == abs(p - q):
if p > q:
print("x²-%dx-%d=(x-%d)(x+%d)" %(-p_q, pq, p, q))
else:
print("x²-%dx-%d=(x+%d)(x-%d)" %(-p_q, pq, p, q))
return True
return False
while True:
#一次系数
p_plus_q = int(input("请输入一次项系数，输入0退出："))
if p_plus_q == 0:
break
#常数项
p_multiply_q = int(input("请输入常数项，输入0退出："))
if p_multiply_q == 0:
break
#常数项因数分解
symbol = 1 #符号，1表示同正负号，-1表示正负号不同
if p_multiply_q < 0:
symbol = -1 #因数符号不同
p_multiply_q = -p_multiply_q #相反数，为正数
#检查1和本身
if checkAndPrint(p_plus_q, p_multiply_q, symbol, 1, p_multiply_q):
continue
maxTestNum = p_multiply_q//2 #除了数的本身，最大可能因数
lst = [(1,p_multiply_q)] #因数表，不含符号，初始值是1和本身
#查找其它因数对
hasFinded = False #是否发现
for n in range(2, maxTestNum+1):
if p_multiply_q % n == 0:
m = p_multiply_q // n #与n对应的因数
finished = False #是否已经完成
for temp in lst: #顺序检查
if temp[0] == m: #查找结束
finished = True #开完成开关
break #跳出内循环
if finished:
break #跳出外循环
lst.append((n, m)) #添加一对因数
print(lst) #打印因数分解列表
if checkAndPrint(p_plus_q, p_multiply_q, symbol, n, m): #检查
hasFinded = True #设置成功变量
break #退出内循环
#打印不可分解
if not hasFinded:
if symbol > 0:
if p_plus_q > 0:
print("x²+%dx+%d不能分解因式！" %(p_plus_q, p_multiply_q))
else:
print("x²-%dx+%d不能分解因式！" %(-p_plus_q, p_multiply_q))
else:
if p_plus_q > 0:
print("x²+%dx-%d不能分解因式！" %(p_plus_q, p_multiply_q))
else:
print("x²-%dx-%d不能分解因式！" %(-p_plus_q, p_multiply_q))
运行结果：
练习：建py文件，把代码考进去，运行，测试较大系数整式。