磨刀不误砍柴工，海龟作图离不开平面坐标系，这一节将讨论平面直角坐标系。
在人们已经认识到任意实数在数轴上有唯一一点与它对应；数轴上任一点有唯一的实数与它对应；即实数与数轴的点一一对应。这样就可以用一条直线（数轴）形象地表示所有的实数。十七世纪法国数学家笛卡尔（Descartes）用两条实数轴正交于原点，不在数轴上的任一点在这两条数轴上的投影得到有序数对（ordered pair）就是这点的坐标，这就是笛卡尔坐标系，也就是平面直角坐标系（rectangular coordinate system）。从笛卡尔之后，人们就可以用代数的方法去研究几何问题了。
如上图，水平的数轴称为x轴（x-axis）或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴（y-axis）或纵轴，习惯上取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。x轴投影写在前，y轴投影写在后形成的有序数对（3,4）就是A点的坐标。注意：数轴的正向不做规定，通常的坐标系都是按习惯设定的；不按习惯，只要是2条正交于原点的数轴就是合规的平面直角坐标系。
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成I，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分（如上图），每个部分称为象限（quadrant），分别叫做第一象限（x>0;y>0）、第二象限（x<0;y>0）、第三象限（x<0;y<0）和第四象限（x>0;y<0）。坐标轴上的点不属于任何象限。注意：括号里的x,y值范围是象限的范围标准；如果坐标系不是按习惯标定的，就需要用它们来判定象限，而不能刻舟求剑定象限。
我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的。同样地，对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数(x,y)（即点M的坐标）和它对应；反过来，对于任意一对有序实数(x,y)，在坐标平面内都有唯一的点M（即坐标为(x,y)的点）和它对应。也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的。
既然正交于原点的两条数轴就是平面直角坐标系，那么原点与数轴正向都可随意来定的。如果在同一个平面上有2个以上直角坐标系，那平面上的同一点在不同的坐标系中的坐标有什么关系呢？下面分对海龟作图中可能用到的坐标系变换进行说明。
问题：xoy为主坐标系，x'o'y'为原点在(a,b)的子坐标系，M点在子坐标系中的坐标是的坐标是(p,q)，求M点在主坐标系中的坐标？
一、原点不同，纵横轴分别平行并正向相同：
从图中可以得到M点的坐标变换公式：
p = x - a <==> x = a + p；
q = y - b <==> y = b + q。
二、原点不同，纵横轴分别平行，横轴正向相同，纵轴正向相反，只要把第一种情况的q改为它的相反数-q就行：
p = x - a <==> x = a + p；
-q = y - b <==> y = b - q。
三、原点不同，纵横轴分别平行，纵轴正向相同，横轴正向相反，只要把第一种情况的p改为它的相反数-p就行：
-p = x - a <==> x = a - p；
q = y - b <==> y = b + q。
四、原点不同，纵横轴分别平行，纵横轴正向相反，只要把第一种情况的p改为它的相反数-p和q改为它的相反数-q就行：
-p = x - a <==> x = a - p；
-q = y - b <==> y = b - q。
以上四种转换的Python代码：
练习题：
1、判断下面说法正确与否：
（1）有序数对中的两个数调换，表示的意义一定不变。
（2）有序数对的2个数同时加、减、乘、除以一个非零数，表示的意义不变。
（3）任一有理数都可以用数轴上唯一的点表示。
（4）数轴上任一点都可以用唯一的有理数表示。
（5）垂直相交的2条数轴构成平面直角坐标系。
（6）相交于原点的2条数轴构成平面直角坐标系。
（7）数学上规定，正对着平面直角坐标系，x轴从左到右，即向右为正向；y轴从下到上，即向上为正向。
（8）平面直角坐标系原点在田字的中心，数轴与田字内部2划重叠，则田字的右上角一定在这个坐标系的第一象限。
（9）正对着平面直角坐标系，横的数轴一定是横轴；竖的数轴一定是纵轴。
（10）平面直角坐标系中平面上的任一点，一定是在第一到第四象限中的任一个象限中。
（11）平面直角坐标系四个象限中的点与有序实数对一一对应。
2、标出下面坐标系的四个象限：
3、不画图，直接写出下面的坐标在哪个象限或哪条数轴上：
（1）坐标(a,b)中，ab>0且a+b>0；
（2）坐标(a,b)中，ab>0且a+b<0；
（3）坐标(a,b)中，ab<0且a>0；
（4）坐标(a,b)中，ab<0且a<0；
（5）坐标(a,b)中，ab=0且a≠0；
（6）坐标(a,b)中，ab=0且b≠0。
4、子坐标系原点(-3, 4) ，M点在子坐标系中的坐标是(7, -15)，请按下面几种情况写出M点的坐标：
（1）纵横坐标的正向都相同；
（2）纵坐标正向相反，横坐标正向相同；
（3）纵坐标正向相同，横坐标正向相反；
（4）纵坐标正向相反，横坐标正向相反。
5、把转换模块输入电脑，验算上题结果是否正确。