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平面中有了直角坐标系，平面上的点就可以用坐标表示。那平面上的图形的平移就一定可以用坐标的变化了表示了。在研究物体的平移之前，先探究一下点的位置变动规律。点A(-1,2)分别向左右上下四个移动5单位长度后的坐标：左右移动y坐标不变，左移动后坐标应该是(-6,2)；右移动后坐标应该是(4,2)。上下移动x坐标不变，上移动后坐标应该是(-1,7)；下移动后坐标应该是(-1,-3)。用海龟画图验证如下图，程序代码见附录1：
一般地，在平面直角坐标系中，将点(x,y)向右(或左)移动a个单位长度可以得到对应点(x+a,y)(或(x-a,y))；将点(x,y)向上(或下)移动b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)(或(x,y-b))。
如果点的移动复合了，情况会怎样呢？例如，从A(-2,4)点向下移动6个单位长度后到B点，根据上面的结论得到B点坐标是(-2,-2)，再向右移动8个单位的长度得到C点，同样得到C点坐标是(6,-2)。如果从A直接移动到C，根据勾股定理，只需移动10个长度单位。用程序验证如下图，代码看附录2：
一般地，平面上点的位置变化，可以拆分为两个步骤：先x轴方向的移动（x坐标增加或减少1个数）再y轴方向的移动（y坐标增加或减少1个数），或先y轴方向的移动（y坐标增加或减少1个数）再x轴方向的移动（x坐标增加或减少1个数）。反过来，连续的x和y轴方向的两次移动，可以用一次“斜”的移动代替（x坐标增加或减少1个数，同时y坐标也增加或减少1个数）。
平面中的图形各点的运动方向保持平行同向，距离也保持相等，这样的运动我们认为是平移运动。
一般地，在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度。纵横坐标同时变化，可以分开两步，但不影响最终结果。
例题1：如下图，三角形平移运动的x和y轴的变化，画出实际的平移后的位置，并写出坐标。
解：
方法一：过A1和A2的方格线（过A1平行于y轴及过A2平行于x轴的两条直线）交点是平移后A的位置A3(-2,-2)，同理得到B3(-3,-4)和C3(-5,-3)，连接这三点就得到平移后的三角形。
方法二：A1(-2,3)、A2(4,-2)，根据平行于坐标轴方向移动的规律，x轴方向， y坐标不变；y轴方向，x坐标不变，取A1的横坐标-2与A2的纵坐标-2组成的(-2,-2)坐标就是A3的坐标，同理得到B3(-3,-4)和C3(-5,-3)，连接这三点就得到平移后的三角形（下图）。程序代码附录3。
例题2：如下图，三角形平移后的位置A3(-1,-1)、B3(-2,-3)和C3(-4,-2)画出拆开为x和y两个方向平移的位置，标出顶点的坐标。
解：
方法一：过A和A3的方格线交于2点，对于A点处于y轴对侧的是x轴方向平移A1(-1,4)，另外一点是y轴方向平移A2(5,-1)；同理得到B1(-2,2)、B2(4,-3)、C1(-4,3)、C2(2,-2)，过这些点连接成三角形。
方法二：轴平移的三角形A1坐标由A3的横坐标和A的纵坐标组成，得A1(-1,4)，同理得B1(-2,2)、C1(-4,3)；y轴平移的三角形A2坐标由A3的纵坐标和A的横坐标组成，得A2(5,-1)，同理得B2(4,-3)、C2(3,-2)，过这些点连接成三角形（下图）。程序代码附录4。
例题3：在海龟画图中，默认情况坐标是隐藏的。如下图，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标A(-7,-8)、B(-4,0)和C(-1,2)，向右平移5个单位后向上平移4个单位，求移动前后的D点坐标？
分析：平移时，各点的坐标变化是一致的，只要知道D点平移前的坐标，就可以求出平移后的坐标；根据平行四边形的性质，边DC可以认为是边AB的平移所得。
解：
∵ D点对于A点的变化与C点对于B点的变化相同，x坐标变化=-1-(-4)=3；y坐标变化=2-0=2；
∴ D点坐标x=-7+3=-4，y=-8+2=-6，即D(-4,-6)；
∴ D点平移后坐标x=-4+5=1，y=-6+4=-2，即D'(1,-2)。
计算后坐标下图，程序代码附录5。
练习题：
1、如下图，在隐含直坐标系的平面中，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标A(-2,-2)、B(1,4)和D(6,1)，向左平移6个单位后向下平移5个单位，求移动前后的C点坐标？
2、如下图，三辆汽车P(-1,1)、Q(-3,1)、R(-1,-1)保持编队行驶，当汽车P行驶到P'(4,3)时，标出汽车Q、R行驶到的位置Q'、R'的坐标？
3、选择题，如下图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后三个顶点的坐标是( )：
(A) (2, 2)，(3, 4)，(1, 7)
(B) (-2, 2)，(4, 3)，(1, 7)
(C) (-2, 2)，(3, 4)，(1, 7)
(D) (2, -2)，(3, 3)，(1, 7)
4、如下图，三角形ABC中任意一点P(x,y)经平移后对应点为P'(x+5,y+3)，将三角形ABC作同样的平移得到三角形A'B'C'。求A'，B'，C'的坐标。
5、如下图，三角形AOB中，A，B两点的坐标分别为(2,4)，(6,2)，求三角形AOB的面积。(提示：三角形AOB的面积可以看作一个长方形的面积减去一些小三角形的面积。)
附录1：
#点的数轴方向（上下左右）移动规律
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles") #预制自定义模块(py文件)存放根目录
import turtle as t #导入海龟画图
t.setup(500,500)
t.screensize(420,420)
from mymath.rcs import * #导入函数轨迹模块
xUnt = (1,20) #数值与像素数值比例1:20，实际坐标是像素数的二十分之一
yUnt = (1,20)
build(t,xUnt,yUnt) #画平面直角坐标系
t.up()
workFont=("宋体", 12, "bold") #标位置字体：12号，宋体，黑体
#标定位置
def indication(name,pos,dx=2,dy=2,algn=None):
'''
@name 位置名称
@pos 位置坐标
@dx 写字位置x增加值
@dy 写字位置y增加值
@align 写字方向:center,left,right
'''
t.setpos(pos)
t.stamp()
t.setpos(pos[0]+dx,pos[1]+dy)
if algn == None:
t.write("%s(%d,%d)" % (name, pos[0]//20, pos[1]//20), font=workFont) #实际坐标是像素数的二十分之一
else:
t.write("%s(%d,%d)" % (name, pos[0]//20, pos[1]//20), align=algn, font=workFont)
t.pencolor("blue") #画线颜色
t.fillcolor("blue")
x, y = -1, 2 #A点
t.setpos(x*20,y*20)
t.shape("circle")
t.stamp()
indication("A",t.pos()) #打名称坐标
t.down()
t.shape("classic")
dx = 5 #向右移动5
t.setx((x+dx)*20)
t.seth(0)
t.stamp()
indication("右",t.pos()) #打名称坐标
t.up()
t.setpos(x*20,y*20) #复位
t.down()
dx = -5 #向左移动5
t.setx((x+dx)*20)
t.seth(180)
t.stamp()
indication("左",t.pos()) #打名称坐标
t.up()
t.setpos(x*20,y*20) #复位
t.down()
dy = 5 #向上移动5
t.sety((y+dy)*20)
t.seth(90)
t.stamp()
indication("上",t.pos()) #打名称坐标
t.up()
t.setpos(x*20,y*20) #复位
t.down()
dy = -5 #向下移动5
t.sety((y+dy)*20)
t.seth(-90)
t.stamp()
indication("下",t.pos()) #打名称坐标
t.up()
t.ht()
t.mainloop()
附录2：
#点的“斜”移动规律
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles") #预制自定义模块(py文件)存放根目录
import turtle as t #导入海龟画图
t.setup(500,500)
t.screensize(420,420)
from mymath.rcs import * #导入函数轨迹模块
xUnt = (1,20) #数值与像素数值比例1:20，实际坐标是像素数的二十分之一
yUnt = (1,20)
build(t,xUnt,yUnt) #画平面直角坐标系
t.up()
workFont=("宋体", 12, "bold") #标位置字体：12号，宋体，黑体
#标定位置
def indication(name,pos,dx=2,dy=2,algn=None):
'''
@name 位置名称
@pos 位置坐标
@dx 写字位置x增加值
@dy 写字位置y增加值
@align 写字方向:center,left,right
'''
t.setpos(pos)
t.stamp()
t.setpos(pos[0]+dx,pos[1]+dy)
if algn == None:
t.write("%s(%d,%d)" % (name, pos[0]//20, pos[1]//20), font=workFont) #实际坐标是像素数的二十分之一
else:
t.write("%s(%d,%d)" % (name, pos[0]//20, pos[1]//20), align=algn, font=workFont)
t.pencolor("blue") #画线颜色
t.fillcolor("blue")
x, y = -2, 4 #A点
t.setpos(x*20,y*20)
t.shape("circle")
t.stamp()
indication("A",t.pos()) #打名称坐标
t.down()
t.shape("classic")
dy = -6 #向下移动6
t.sety((y+dy)*20)
t.seth(-90)
t.stamp()
indication("下",t.pos()) #打名称坐标
dx = 8 #不复位向右移动8
t.setx((x+dx)*20)
t.seth(0)
t.stamp()
indication("右",t.pos()) #打名称坐标
t.up()
t.setpos(x*20,y*20) #复位
t.down()
d = 10 #斜移动10
import math
t.seth(math.atan2(-6,8)*180/math.pi)
t.pencolor("red") #画线颜色
t.fillcolor("red")
t.forward(10*20)
t.stamp()
pos=t.pos()
t.sety(pos[1]+20);
t.write("%s(%d,%d)" % ("斜", pos[0]//20, pos[1]//20), font=workFont)
t.up()
t.ht()
t.mainloop()
附录3：
#图形平移的合成
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles") #预制自定义模块(py文件)存放根目录
import turtle as t #导入海龟画图
t.setup(500,500)
t.screensize(440,440)
from mymath.rcs import * #导入函数轨迹模块
xUnt = (1,40) #数值与像素数值比例1:40，实际坐标是像素数的二十分之一
yUnt = (1,40)
build(t,xUnt,yUnt) #画平面直角坐标系
t.up()
workFont=("宋体", 12, "bold") #标位置字体：12号，宋体，黑体
#标定位置
def indication(name,pos,dx=2,dy=2,algn=None):
'''
@name 位置名称
@pos 位置坐标
@dx 写字位置x增加值
@dy 写字位置y增加值
@align 写字方向:center,left,right
'''
t.up()
t.setpos(pos[0]+dx,pos[1]+dy)
if algn == None:
t.write(name, font=workFont) #实际坐标是像素数的二十分之一
else:
t.write(name,align=algn, font=workFont)
t.setpos(pos)
t.down()
#原三角形
Ax, Ay, Bx, By, Cx, Cy = 4,3,3,1,1,2
t.setpos(Ax*40,Ay*40)
indication("A",t.pos()) #打名称坐标
t.down()
t.setpos(Bx*40,By*40)
indication("B",t.pos(),dy=-20) #打名称坐标
t.setpos(Cx*40,Cy*40)
indication("C",t.pos()) #打名称坐标
t.setpos(Ax*40,Ay*40)
t.up()
t.pencolor("blue") #画箭头
t.fillcolor("blue")
t.shape("classic")
t.setpos(1.5*40,2.5*40)
t.down()
t.setx(-1.5*40)
t.seth(180)
t.stamp()
t.up()
#x平移三角形
A1x, B1x, C1x = -2,-3,-5
t.setpos(A1x*40,Ay*40)
indication("A1",t.pos()) #打名称坐标
t.down()
t.setpos(B1x*40,By*40)
indication("B1",t.pos(),dy=-20) #打名称坐标
t.setpos(C1x*40,Cy*40)
indication("C1",t.pos()) #打名称坐标
t.setpos(A1x*40,Ay*40)
t.up()
t.pencolor("red") #画箭头
t.fillcolor("red")
t.setpos(2.5*40,1*40)
t.down()
t.sety(-2.1*40)
t.seth(-90)
t.stamp()
t.up()
#y平移三角形
A2y, B2y, C2y = -2,-4,-3
t.setpos(Ax*40,A2y*40)
indication("A2",t.pos()) #打名称坐标
t.down()
t.setpos(Bx*40,B2y*40)
indication("B2",t.pos(),dy=-20) #打名称坐标
t.setpos(Cx*40,C2y*40)
indication("C2",t.pos()) #打名称坐标
t.setpos(Ax*40,A2y*40)
t.up()
t.pencolor("green") #画线颜色
t.fillcolor("green")
#平移后三角形
t.setpos(A1x*40,A2y*40)
indication("A3",t.pos()) #打名称坐标
t.down()
t.setpos(B1x*40,B2y*40)
indication("B3",t.pos(),dy=-20) #打名称坐标
t.setpos(C1x*40,C2y*40)
indication("C3",t.pos()) #打名称坐标
t.setpos(A1x*40,A2y*40)
t.up()
t.ht()
t.mainloop()
附录4：
#图形平移的分解
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles") #预制自定义模块(py文件)存放根目录
import turtle as t #导入海龟画图
t.setup(500,500)
t.screensize(440,440)
from mymath.rcs import * #导入函数轨迹模块
xUnt = (1,40) #数值与像素数值比例1:40，实际坐标是像素数的二十分之一
yUnt = (1,40)
build(t,xUnt,yUnt) #画平面直角坐标系
t.up()
workFont=("宋体", 12, "bold") #标位置字体：12号，宋体，黑体
#标定位置
def indication(name,pos,dx=2,dy=2,algn=None):
'''
@name 位置名称
@pos 位置坐标
@dx 写字位置x增加值
@dy 写字位置y增加值
@align 写字方向:center,left,right
'''
t.up()
t.setpos(pos[0]+dx,pos[1]+dy)
if algn == None:
t.write(name, font=workFont) #实际坐标是像素数的二十分之一
else:
t.write(name,align=algn, font=workFont)
t.setpos(pos)
t.down()
#原三角形
Ax, Ay, Bx, By, Cx, Cy = 5,4,4,2,2,3
t.setpos(Ax*40,Ay*40)
indication("A",t.pos()) #打名称坐标
t.down()
t.setpos(Bx*40,By*40)
indication("B",t.pos(),dy=-20) #打名称坐标
t.setpos(Cx*40,Cy*40)
indication("C",t.pos()) #打名称坐标
t.setpos(Ax*40,Ay*40)
t.up()
t.pencolor("green") #画线颜色
t.fillcolor("green")
#平移后三角形
A3x, A3y, B3x, B3y, C3x, C3y = -1,-1,-2,-3,-4,-2
t.setpos(A3x*40,A3y*40)
indication("A3",t.pos()) #打名称坐标
t.down()
t.setpos(B3x*40,B3y*40)
indication("B3",t.pos(),dy=-20) #打名称坐标
t.setpos(C3x*40,C3y*40)
indication("C3",t.pos()) #打名称坐标
t.setpos(A3x*40,A3y*40)
t.up()
t.pencolor("blue") #画箭头
t.fillcolor("blue")
t.shape("classic")
t.setpos(2.5*40,3.5*40)
t.down()
t.setx(-0.5*40)
t.seth(180)
t.stamp()
t.up()
#x平移三角形
t.setpos(A3x*40,Ay*40)
indication("A1",t.pos()) #打名称坐标
t.down()
t.setpos(B3x*40,By*40)
indication("B1",t.pos(),dy=-20) #打名称坐标
t.setpos(C3x*40,Cy*40)
indication("C1",t.pos()) #打名称坐标
t.setpos(A3x*40,Ay*40)
t.up()
t.pencolor("red") #画箭头
t.fillcolor("red")
t.setpos(3.5*40,2*40)
t.down()
t.sety(-1.1*40)
t.seth(-90)
t.stamp()
t.up()
#y平移三角形
t.setpos(Ax*40,A3y*40)
indication("A2",t.pos()) #打名称坐标
t.down()
t.setpos(Bx*40,B3y*40)
indication("B2",t.pos(),dy=-20) #打名称坐标
t.setpos(Cx*40,C3y*40)
indication("C2",t.pos()) #打名称坐标
t.setpos(Ax*40,A3y*40)
t.up()
t.ht()
t.mainloop()
附录5：
#图形平移的同步性
import turtle as t #导入海龟画图
t.setup(500,500)
t.screensize(420,420)
xyUnit = 20 #数值与像素数值比例1:20，实际坐标是像素数的二十分之一
t.up()
workFont=("宋体", 12, "bold") #标位置字体：12号，宋体，黑体
#标定位置
def indication(name,pos,dx=2,dy=2,algn=None,posOn=True):
'''
@name 位置名称
@pos 位置坐标
@dx 写字位置x增加值
@dy 写字位置y增加值
@align 写字方向:center,left,right
@posOn 是否打坐标
'''
t.up()
t.setpos(pos[0]+dx,pos[1]+dy)
if algn == None:
if posOn:
t.write("%s(%d,%d)" % (name, pos[0]//xyUnit, pos[1]//xyUnit), font=workFont)
else:
t.write(name, font=workFont) #实际坐标是像素数的二十分之一
else:
if posOn:
t.write("%s(%d,%d)" % (name, pos[0]//xyUnit, pos[1]//xyUnit), align=algn, font=workFont)
else:
t.write(name,align=algn, font=workFont)
t.setpos(pos)
t.down()
#原平行四边形
Ax, Ay, Bx, By, Cx, Cy, Dx, Dy = -7,-8,-4,0,-1,2,-4,-6
t.setpos(Ax*xyUnit,Ay*xyUnit)
indication("A",t.pos(),dy=-xyUnit) #打名称坐标
t.down()
t.setpos(Bx*xyUnit,By*xyUnit)
indication("B",t.pos()) #打名称坐标
t.setpos(Cx*xyUnit,Cy*xyUnit)
indication("C",t.pos()) #打名称坐标
t.setpos(Dx*xyUnit,Dy*xyUnit)
indication("D",t.pos(),dy=-xyUnit) #打名称坐标,posOn=False
t.setpos(Ax*xyUnit,Ay*xyUnit)
t.up()
t.pencolor("blue") #画箭头
t.fillcolor("blue")
#平移后平行四边形
t.setpos((Ax+5)*xyUnit,(Ay+4)*xyUnit)
indication("A'",t.pos(),dy=-xyUnit) #打名称坐标
t.down()
t.setpos((Bx+5)*xyUnit,(By+4)*xyUnit)
indication("B'",t.pos()) #打名称坐标
t.setpos((Cx+5)*xyUnit,(Cy+4)*xyUnit)
indication("C'",t.pos()) #打名称坐标
t.setpos((Dx+5)*xyUnit,(Dy+4)*xyUnit)
indication("D'",t.pos(),dy=-xyUnit) #打名称坐标
t.setpos((Ax+5)*xyUnit,(Ay+4)*xyUnit)
t.up()
t.ht()
t.mainloop()