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把两个代数式用等号连接在一起就成了等式，例如：
2+3=5；
a²+b²=c²；
x²+9x-80=0；
……
含有未知数的等式就是方程，例如：
x+9=15；
x²+2x+1=0；
x²=y²；
……
下面用列表试值的方法尝试解方程：
(x+1)³=x³+3x²+3x+1。
x取值\t左边值\t右边值
-2\t(-2+1)³=-1\t(-2)³+3(-2)²+3(-2)+1=-1
-1\t(-1+1)³=0\t(-1)³+3(-1)²+3(-1)+1=0
0\t(0+1)³=1\t0³+3(0)²+3(0)+1=1
1\t(1+1)³=8\t1³+3(1)²+3(1)+1=8
2\t(2+1)³=27\t(2)³+3(2)²+3(2)+1=27
可见，不管x取什么值，方程的左边和右边的值都相等。字母取任何取值范围内的实数，等式两边的值都相等，这种等式就是恒等式。
等式、方程和恒等式的对比
项目\t等式\t方程\t恒等式
字母意义\t确定数\t未知数\t任何数（取值范围内）
等号意义\t数值相同\t未知数制约条件\t字母取任何不同值，等式恒成了
上例是3次二项式的展开式。可以说，所有的公式都是恒等式。
我们把可以取任何数（取值范围内）的字母叫做变量(variable)，相应地，那些保持不变的数或字母是常量(constant)。一般地，把等号左边只有一个变量的恒等式是函数的一种表示方式。等号右边的变量是自变量(independent variable)，整个代数式就是“自变量代数式”；等号左边的一个变量是因变量(dependent variable)，也就是自变量的函数(function)，因为：当自变量取一组确定的值时，因变量都有唯一的值与“自变量代数式”运算结果相等。这个因变量的值就是相对于这组自变量的函数值。这个恒等式是函数的解析式。下图（作图代码附录1）说明这些概念的关系：
与代数式关联起来看，可以这样认为：“自变量代数式”就是代数式本身，函数就是代数式中的字母取不同值时的运算结果。函数解析式并不可怕，只是研究代数式的字母取不同值时，它的运算结果与代数式形式上的规律。函数解析式的目的是为了研究各种代数式的规律。
可见，函数解析式的重点是等号的右边的代数式。如果这个代数式是多项式，它的元数是函数的元数，次数是函数的次数。
类别\t表达式\t元数\t次数
多项式\t5x³＋12x²y²+7y³\t2\t4
函数解析式\tz=5x³＋12x²y²+7y³\t2\t4
例题1：写出下面函数解析式的变量、自变量、因变量、自变量代数式、函数、元数和次数？
z=(x²+3xy+y²)³ × (x³+5x²y²+7y³)²
解：
变量：z、x、y；
自变量：x、y；
因变量：z；
自变量代数式：(x²+3xy+y²)³ × (x³+5x²y²+7y³)²；
函数：z；
元数：2；
次数：2×3+4×2=14。注：乘方是次数乘指数；多项式相乘是次数相加。
例题2：判断下面的以x、y、z为变量的等式是否能转变为函数解析式，如果可以写出全部的函数解析式？
（1）x²+y²=100；
（2）x²+y²+z²=100；
（3）12x²+3y-3z=120。
解：（1）、（2）都不能转化为函数，因为一对相反数的平方数相等，造成一组自变量值，都可能有一对相反数与之相对；（3）是可以转化的：
y=40-4x²+z，z=4x²+y-40。
总结：从纯数学的角度来看，代数式左边加入等号和一个变量就成了函数解析式，原代数式中的可变字母就成了自变量，代数式整体（等于左边变量）是自变量的函数。每一组自变量都有唯一的函数值与之对应；每个函数值却不一定与唯一的一组自变量对应。
某人在树林里养鸟，树林里也有野生的鸟。在某一天，他的养鸟与树林里的野生鸟数量相等，此后他每天卖掉一些鸟。现在来分析野生鸟、养鸟、和卖掉的鸟的数量上的关系。
那一天，养鸟和野生鸟数量相等，只说明这一天两个数量的关系，是一种静态的关系；养鸟和卖掉的鸟就不一样了，虽然养鸟和卖掉的鸟的数量都在变化，但养鸟的数量总是等于那一天的数量减卖掉的鸟的数量，也就是说，这两个数量的相等关系是动态的，数学上称作数量恒等关系。这样我们认为养鸟与卖掉的鸟的关系是函数关系。
“唯有不变的是不断的运动变化。”日出日落、月圆与缺、寒来暑往、花开花落……在我们周围的事物中，有很多量在变化，但这些变化的量不一定都有函数关系，只有这种一个量之所以变化是因为另一些量的变化而导致，这种变量的依赖关系，在数学中逐渐形成了函数的概念。人们通过研究函数及其性质，更加深入地认识客观世界中许多运动变化的规律。例如著名的爱因斯坦质能方程：
E=mC²。
例题３：甲乙两辆车从甲地同时出发，速度分别是v1和v2千米/小时，过了t小时，分别走了s1和s2千米，找出v1、v2、t与s1、s2这的函数关系？
解：时间变化，s1、s2都变化，所以s1、s2是t的函数；s1、s2分别与v1、v2也是函数关系。
s1=v1×t；
s2=v2×t。
在实际的科学研究活动中遇到的情况要比上例复杂千万倍，科学家们废寝忘食地研究，目的就为了寻找函数关系，并把这种函数关系描述出来。
练习题1：写出下面函数解析式的变量、自变量、因变量、自变量代数式、函数、元数和次数？
y=(2³x³+7²x²t³+t+6)³ × (3²x³+17x²t³+x-99)²
练习题２：判断下面等式中，变量y是否是变量x的函数？
（１）y³＋5x²-9x+1=0；
（２）27y³+27y²+9y+5x²+8x-98=0。
练习题３：找出下面可以转化为函数解析式的等式，并把所有的函数解析式写出来？
（１）x+y+z=10；
（２）(x-a)²+(y-b)²=100； （a,b为常数）
（３）3²x²+y-z-t=40。
练习题４：水池中原有水V立方，有一个注水管，每小时a立方，也有一个排水管，每小时b立方，旁边也有个洗地水管，水不流到水池，每小时c立方，三个水管同开，t小时后水池的水是P立方，列出函数是P的函数解析式。
附录1：
#变量与函数的概念
import turtle as t
t.setup(600,500)
t.screensize(500,400)
X, Y, d = -75, 175, 1.5 #设置参考点坐标
fntNS = 20 #概念字体
fntN = ("宋体", fntNS, "normal")
fntEQS = 80 #函数解析式字体
fntEQ = ("黑体", fntEQS, "bold")
t.up()
t.setpos(X, Y)
t.write("变量",move=False,align="center",font=fntN)
t.down()
t.sety(Y-10)
t.up()
t.setx(X-100)
t.down()
t.setx(X+100)
t.sety(Y-20)
t.up()
t.sety(Y-20-fntNS*d)
t.write("自变量",move=False,align="center",font=fntN)
t.down()
t.sety(Y-20-fntNS*d-10)
t.up()
t.sety(Y-20-fntNS*d-10-fntEQS*d)
t.write("x²",move=False,align="center",font=fntEQ)
t.seth(0)
t.fd(fntEQS/d)
t.write("+3",move=True,font=fntEQ)
t.back(fntEQS//2)
t.seth(90)
t.fd(fntEQS*d)
t.down()
t.fd(10)
t.write("常量",move=False,align="center",font=fntN)
t.up()
t.setpos(X, Y-20-fntNS*d-10-fntEQS*d)
t.write("=",move=False,align="center",font=fntEQ)
t.setx(X-100)
t.write("y",move=False,align="center",font=fntEQ)
t.sety(Y-20-fntNS*d-10)
t.down()
t.sety(Y-20-fntNS*d)
t.up()
t.write("因变量",move=False,align="center",font=fntN)
t.sety(Y-20)
t.down()
t.sety(Y-10)
t.up()
t.sety(Y-20-fntNS*d-10-fntEQS*d)
t.down()
t.sety(Y-20-fntNS*d-10-fntEQS*d-10)
t.up()
t.sety(Y-20-2*fntNS*d-10-fntEQS*d-10)
t.write("函数",move=False,align="center",font=fntN)
t.setx(X)
t.write("等号",move=False,align="center",font=fntN)
t.sety(Y-20-fntNS*d-10-fntEQS*d)
t.down()
t.sety(Y-20-fntNS*d-10-fntEQS*d-10)
t.up()
t.setpos(X+100,Y-20-fntNS*d-10-fntEQS*d)
t.down()
t.sety(Y-20-fntNS*d-10-fntEQS*d-10)
t.up()
t.sety(Y-20-2*fntNS*d-10-fntEQS*d-10)
t.write("自变量式",move=False,align="center",font=fntN)
t.down()
t.sety(Y-20-2*fntNS*d-10-fntEQS*d-10-10)
t.setx(X-100)
t.sety(Y-20-2*fntNS*d-10-fntEQS*d-10)
t.up()
t.setx(X)
t.down()
t.sety(Y-20-2*fntNS*d-10-fntEQS*d-10-10-10)
t.up()
t.sety(Y-20-3*fntNS*d-10-fntEQS*d-10-10-10)
t.write("函数解析式",move=False,align="center",font=fntN)
t.ht()