对于一元一次函数
y=3x+2，
已知函数值分别大于2（y>2）、小于0（y<0）、小于-1（y<-1），求自变量x的取值范围。或者说，在直线y=3x+2上取纵坐标分别满足大于2、小于0、小于-1的点，看它们的横坐标分别满足什么条件（下图）。
把y=3x+2分别代入y>2、y<0和y<-1得到三条式子
（１）3x+2>2，
（２）3x+2<0，
（３）3x+2<-1。
像上面（１）（２）（３），用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式(inequality)。像a+2≠a-2、x+1≥3、x+1≤3这样用符号“≠(不等于）、≥（大于或等于）、≤（小于或等于）”表示不等关系的式子也是不等式。
有些不等式中不含未知数，例如3<4，-1>-2，这种不等式在程序中广泛使用，作为转折开关。有些不等式中含有未知数，例如（１）（２）（３）式中字母x表示未知数，这种不等式一般用于已知值域反推定义域——解不等式。
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集( solution set)。求不等式的解集的过程叫做解不等式。由图可得上面三条不等式的解集：
（１）x>0，
（２）x<-2/3，
（３）x<-1。
对于某些简单的不等式，我们可以直接得出它们的解集，例如不等式x+3>6的解集是x>3，不等式2x<8的解集是x<4。但是对于比较复杂的不等式,例如(5x+1)/6-2>(x-5)/4，直接得出解集就比较困难。因此，还要讨论怎样解不等式。与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质。为此，我们先来看看不等式有什么性质。我们知道，等式两边加或减同一个数(或式子)，乘或除以同一个数(除数不为0)，结果仍相等。不等式是否也有类似的性质呢?
一般地，不等式有以下性质。
不等式的性质1 不等式两边加（或减）同一个（或相等）数（或式子）不等号的方向不变。
如果a>b，那么a±c>b±c。
不等式的性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
如果a>b，c>0，那么ac>bc(或a/c>b/c)。
不等式的性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
如果a>b，c<０，那么ac<bc(或a/c<b/c)。
不等式的性质4 两个同向不等式相加，不等号的方向不变。
如果a>b，c>d，那么a+c>b+d。
不等式的性质5 两个异向不等式相减，不等号的方向不变。
如果a>b，c<d，那么a-c>b-d。
不等式的性质6 两个量，一个大于某一个量而另一个小于某个量，那前一个量大于后一个量（不等关系的传递）。
如果a>b，b>c，那么a>c。
例题1：设m>n，用“<”或“>”填空：
（１）m-5_____n-5；
（２）m+4_____n+4；
（３）6m_____6n；
（４）-(1/3)m____-(1/3)n;
（５）若p>t，则m+p____n+t；
（６）若p<t，则m-p_____n-t；
（７）若n>p，则m____p。
解：
（１）m-5 > n-5；不等式的性质1
（２）m+4 > n+4； 不等式的性质1
（３）6m > 6n；不等式的性质2
（４）-(1/3)m < -(1/3)n; 不等式的性质3
（５）若p>t，则m+p > n+t；不等式的性质4
（６）若p<t，则m-p > n-t； 不等式的性质5
（７）若n>p，则m____p。不等式的性质6
例题2：解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（１）x+3>-1；
（２）6x≤5x-7；
（３）-(1/3)x<2/3；
（４）4x≥-12。
解：
（１）x+3-3>-1-3，x>-4。数轴表示，作图代码附录1。
（２）6x-5x≤5x-7-5x，x≤-7。数轴表示，作图代码附录２。
（３）-(1/3)(-3)x>2/3(-3)，x>-2。数轴表示，作图代码附录３。
（４）4x/4≥-12/4，x≥-3。数轴表示，作图代码附录4。
注意：≥、≤是实点，>、<是虚点。
练习1：设s>q，用“<”或“>”填空：
（１）s-123_____q-123；
（２）s+98_____q+98；
（３）13s_____13q；
（４）-(1/17)s____-(1/17)q;
（５）若p>t，则s+p____q+t；
（６）若p<t，则s-p_____q-t；
（７）若q>p，则s____p。
练习题2：解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（１）2x+5≥-1；
（２）9x+8<5x；
（３）-(1/12)x<1/6；
（４）11x≥-121。
附录1：
import turtle as t
t.setup(400,400)
t.screensize(300,300)
t.up()
t.setpos(-150,0)
t.seth(0)
t.shape("classic")
t.down()
t.fd(300)
t.stamp()
t.up()
t.setx(0)
t.down()
t.seth(90)
t.fd(5)
t.up()
t.back(25)
t.write("0",align="center")
t.setpos(-80,0)
t.dot(6,"red")
t.dot(4,"white")
t.sety(-20)
t.write("-4",align="center")
t.fd(23)
t.down()
t.pencolor("blue")
t.fd(20)
t.seth(0)
t.fd(200)
t.ht()
附录２：
iimport turtle as t
t.setup(400,400)
t.screensize(300,300)
t.up()
t.setpos(-150,0)
t.seth(0)
t.shape("classic")
t.down()
t.fd(300)
t.stamp()
t.up()
t.setx(100)
t.down()
t.seth(90)
t.fd(5)
t.up()
t.back(25)
t.write("0",align="center")
t.setpos(10,0)
t.dot(6,"red")
t.sety(-20)
t.write("-7",align="center")
t.fd(23)
t.down()
t.pencolor("blue")
t.fd(20)
t.seth(180)
t.fd(140)
t.ht()
附录3：
import turtle as t
t.setup(400,400)
t.screensize(300,300)
t.up()
t.setpos(-150,0)
t.seth(0)
t.shape("classic")
t.down()
t.fd(300)
t.stamp()
t.up()
t.setx(0)
t.down()
t.seth(90)
t.fd(5)
t.up()
t.back(25)
t.write("0",align="center")
t.setpos(-80,0)
t.dot(6,"red")
t.dot(4,"white")
t.sety(-20)
t.write("-2",align="center")
t.fd(23)
t.down()
t.pencolor("blue")
t.fd(20)
t.seth(0)
t.fd(200)
t.ht()
附录4：
import turtle as t
t.setup(400,400)
t.screensize(300,300)
t.up()
t.setpos(-150,0)
t.seth(0)
t.shape("classic")
t.down()
t.fd(300)
t.stamp()
t.up()
t.setx(0)
t.down()
t.seth(90)
t.fd(5)
t.up()
t.back(25)
t.write("0",align="center")
t.setpos(-80,0)
t.dot(6,"red")
t.sety(-20)
t.write("-3",align="center")
t.fd(23)
t.down()
t.pencolor("blue")
t.fd(20)
t.seth(0)
t.fd(200)
t.ht()