类似于一元一次方程组,把这两个一元一次不等式
30x>1200、 ①
30x<1500 ②
合起来,组成一个一元一次不等式组(system of linear inequalities in one unknown)。
怎样确定不等式组中x的可取值的范围呢?
类比方程组的解,不等式组中的各不等式解集的公共部分,就是不等式组中x可以取值的范围。
由不等式①,解得
x>40。
由不等式②,解得
x<50。
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来(下图)。
从上图容易看出,x取值的范围为
40<x<50。
一般地,几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集。
例题1:解下列不等式组:
(1)
2x-1>x+1, ①
x+8<4x-1; ②
(2)
2x+3≥x+11, ①
(2x+5)/3-1<2-x。 ②
解:(1)解不等式①,得
x>2。
解不等式②,得
x>3。
可见,不等式组的解集是
x>3。
说明(无需在答题中,除非要求,如果对自己的判断不自信,建议在草稿纸上画图。):
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来(下图)。
从上图可以找出两个不等式解集的公共部分,得不等式组的解集
x>3。
(2)解不等式①,得
x≥8。
解不等式②,得
x<4/5。
可见,不等式组无解。
说明:
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来(下图):
从上图可以看到这两个不等式的解集没有公共部分,不等式组无解。
例题2:x取哪些整数值时,不等式
5x+2>3(x-1)
与
(1/2)x-1≤7-(3/2)x
都成立?
分析:求出这两个不等式组成的不等式组的解集,解集中的整数就是x可取的整数值。
解:解不等式组
5x+2>3(x-1)
(1/2)x-1≤7-(3/2)x
得
-5/2<x≤4。
所以x可取的整数值是-2,-1,0,1,2,3,4。
总结:解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。
练习题1:解下列不等式组,在数轴上作图验证。
练习题2:求下面不等式组的整数解。
4(x-0.3)<0.5x+5.8,
3+x>(1/2)x+1。
练习题3:求由三个不等式组成的不等式组的解集。
5x-1>3(x+1),
(1/2)x-1>3-(3/2)x,
x-1<3x+1。