一元一次绝对值函数y=a|x+b|+p（a≠0）中，y=q（q是一个特定的数值）就成了一元一次绝对值方程

a|x+b|+p＝q（a≠0）。

　　由一元一次方程与一元一次函数的关系，我们应该联想到，要使方程有解，函数y=a|x+b|+p（a≠0）和函数y=q必须有交点。一元一次函数y=ax+b（a≠0）的图象是一条不平行于x轴的直线，与平行于x轴的直线必然交于一点，也就是说一元一次方程一定有解。由于一元一次绝对值函数是一条对称的折线，有最大值（a<0）或最小值（a>0）p，如果比最大值还大或比最小值还小，方程就无解了。下面的图片说明解的情况：

　　把一元一次绝对值方程写成标准形式

a|x+b|+c＝0（a≠0），

由上面的函数图象可以得到一元一次绝对值方程的性质：

１、当a>0，c>0 ，无解；c=0，唯一解；c<0，双解。

２、当a<0，c>0，双解；c=0，唯一解；c<0，无解。

例题1：判断下面绝对值方程有无解，有解的话，把解解出来。

（１）2|x-3|+5=4，

（２）-3|x+4|+2=2，

（３）2|2x+1|+3=7。

解：（１）因为函数y=2|x-3|+5的最小值是5，所以方程无解。

（２）因为函数y=-3|x+4|+2的最大值是2，所以方程有唯一解

x=-4。

（３）因为函数y=2|2x+1|+3的最小值是3，所以方程有双解。

2|2x+1|+3=7，

|2x+1|=(7-3)/2，

|2x+1|=2，

2x+1=2　或　-(2x+1)=2，

x=1/2　或　x=-3/2。

练习题1：判断下面绝对值方程有无解，有解的话，把解解出来。

（１）|2x-3|+1=5，

（２）-2|3x-2|+4=-2，

（３）3|5x+1|+3=1。

附录1：

import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from fractions import Fraction
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)  
t.up()
build(t)
#y=3x+1    
a=3
b=1
def f(x):    
    return a*x+b 

trace(t,-9,9,f)
t.setpos(-2*20,-5*20)
t.write("y=3x+1",align="right",font=(markFont[0],20,markFont[2]));
t.setpos(0,-225)
t.write("方程3x+1=8/3",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]));
t.sety(-250)
t.write("有解，作图代码附录1",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]));
t.pencolor("blue")
#y=8/3
a=0
b=Fraction(8,3)
trace(t,-9,9,f)
t.setpos(5*20,b*20)
t.write("y=8/3",align="center",font=(markFont[0],20,markFont[2]));
t.ht()

附录2：

import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from fractions import Fraction
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)  
t.up()
build(t)

#y=3|x|+1    
a=3
b=1
def f(x):    
    if x<0:
        return -a*x+b  
    else:
        return a*x+b  
#画函数轨迹
trace(t,-9,9,f)
t.setpos(-2*20,7*20)
t.write("y=3|x|+1",align="right",font=(markFont[0],20,markFont[2]));
t.setpos(0,-225)
t.write("方程3|x|+1=8/3",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]));
t.sety(-250)
t.write("有双解，作图代码附录２",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]));
t.pencolor("blue")
#画水平线y=8/3
a=0
b=Fraction(8,3)
trace(t,-9,9,f)
t.setpos(5*20,b*20)
t.write("y=8/3",align="center",font=(markFont[0],20,markFont[2]));
t.ht()

附录3：
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from fractions import Fraction
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)  
t.up()
build(t)

#y=3|x|+1    
a=3
b=1
def f(x):    
    if x<0:
        return -a*x+b  
    else:
        return a*x+b  
#画函数轨迹
trace(t,-9,9,f)
t.setpos(-2*20,7*20)
t.write("y=3|x|+1",align="right",font=(markFont[0],20,markFont[2]));
t.setpos(0,-225)
t.write("方程3|x|+1=1",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]));
t.sety(-250)
t.write("有单解，作图代码附录3",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]));
t.pencolor("blue")
#画水平线y=１
a=0
b=1
trace(t,-9,9,f)
t.setpos(5*20,b*20)
t.write("y=1",align="center",font=(markFont[0],20,markFont[2]));
t.ht()

附录4：
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from fractions import Fraction
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)  
t.up()
build(t)

#y=3|x|+1    
a=3
b=1
def f(x):    
    if x<0:
        return -a*x+b  
    else:
        return a*x+b  
#画函数轨迹
trace(t,-9,9,f)
t.setpos(-2*20,7*20)
t.write("y=3|x|+1",align="right",font=(markFont[0],20,markFont[2]));
t.setpos(0,-225)
t.write("方程3|x|+1=-8/3",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]));
t.sety(-250)
t.write("无解，作图代码附录4",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]));
t.pencolor("blue")
#画水平线y=１
a=0
b=-Fraction(8,3)
trace(t,-9,9,f)
t.setpos(5*20,b*20)
t.write("y=-8/3",align="center",font=(markFont[0],20,markFont[2]));
t.ht()

附录5：
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from fractions import Fraction
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)  
t.up()
build(t)

#y=-3|x|+4    
a=-3
b=4
def f(x):    
    if x<0:
        return -a*x+b  
    else:
        return a*x+b  
#画函数轨迹
trace(t,-9,9,f)
t.setpos(-3*20,-5*20)
t.write("y=-3|x|+4",align="right",font=(markFont[0],20,markFont[2]));
t.setpos(0,-225)
t.write("方程-3|x|+4=6",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]));
t.sety(-250)
t.write("无解，作图代码附录5",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]));
t.pencolor("blue")
#画水平线y=6
a=0
b=6
trace(t,-9,9,f)
t.setpos(5*20,b*20)
t.write("y=6",align="center",font=(markFont[0],20,markFont[2]));
t.ht()

附录6：
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from fractions import Fraction
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)  
t.up()
build(t)

#y=-3|x|+4    
a=-3
b=4
def f(x):    
    if x<0:
        return -a*x+b  
    else:
        return a*x+b  
#画函数轨迹
trace(t,-9,9,f)
t.setpos(-3*20,-5*20)
t.write("y=-3|x|+4",align="right",font=(markFont[0],20,markFont[2]));
t.setpos(0,-225)
t.write("方程-3|x|+4=4",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]));
t.sety(-250)
t.write("有单解，作图代码附录6",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]));
t.pencolor("blue")
#画水平线y=4
a=0
b=4
trace(t,-9,9,f)
t.setpos(5*20,b*20)
t.write("y=4",align="center",font=(markFont[0],20,markFont[2]));
t.ht()

附录7：
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from fractions import Fraction
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)  
t.up()
build(t)

#y=-3|x|+4    
a=-3
b=4
def f(x):    
    if x<0:
        return -a*x+b  
    else:
        return a*x+b  
#画函数轨迹
trace(t,-9,9,f)
t.setpos(-3*20,-5*20)
t.write("y=-3|x|+4",align="right",font=(markFont[0],20,markFont[2]));
t.setpos(0,-225)
t.write("方程-3|x|+4=-2",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]));
t.sety(-250)
t.write("有双解，作图代码附录7",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]));
t.pencolor("blue")
#画水平线y=-2
a=0
b=-2
trace(t,-9,9,f)
t.setpos(5*20,b*20)
t.write("y=-2",align="center",font=(markFont[0],20,markFont[2]));
t.ht()