例子1：每人发2个苹果的函数关系
y=2x（x=0,1,2,3……），
函数图象如下，作图代码附录1。
例子2：每小时往水池里放水2立方水的函数关系
y=2x（x≥0），
函数图象如下，作图代码附录2。
例子3：氢原子是最简单的原子，由一个质子（原子核）和一个电子组成。这个电子根据不同的能量状态（x≥0）运行在不同的轨道（y=0, 1, 2, 3, ……）上。如下图，作图代码附录3。
假如能量状态是连续的非零实数，0≤能量状态<1时在0轨道，1≤能量状态<2时在1轨道，如此类推。它们的函数关系
y=floor(x) （x≥0） ，
注：floor是地板整数，
函数图象如下，作图代码附录4。
例子4：自来水是分段计算收费的，不超过30立方每立方3元，超过30立方而不超过60立方的部分每立方5元，超过60立方的部分每立方7元。这是个分段函数（由于自变量取值范围不同函数关系不一样，要分段描述函数解析式。）关系
y=3x（0≤x≤30），
y=5(x-30)+90（30<x≤60），
y=7(x-60)+240（x>60），
函数图象如下，作图代码附录5。
上面四个函数图象对比，例子1是离散的点，例子2是连续的线，例子3是断开的线，例子4是折线。
自变量的取值范围称作函数的定义域，函数值的范围称作函数的值域。
我们知道，实数与坐标轴上的点一一对应，也就是说，实数是连续的。实数包含有理数和无理数，单独有理数或无理数是不连续的。
一元函数的定义域是连续的实数区间，而且图象是连续的线（例子2和例子4），我们认为这个函数是连续的。
一个不连续的一元函数，在某个自变量取值区间是实数区间，在这个区间上函数图象是连续的线（如例子2的1≤x<2），我们把这个自变量取值区间认为是这个函数的连续区间。
例题1：判断下面函数是否连续，如果不连续但有连续区间，请找出一个连续区间。注：不注明定义域，则定义域是整个实数。
（１）y=-5x (x=......, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ......)
（２）y=3x-|x-2|+5
（３）y=x²+4x+3
（４）y=2x²+3|x|-7
（５）y=2.5x （x为全部有理数）
（６）y=3.2x （x为全部无理数）
（７）分段函数
y=2x (x<3) ①
y=3x-3 (x≥3) ②
（８）分段函数
y=3|x+2|-1 (x≤0) ①
y=x²+4x+5 (x>0) ②
（９）分段函数
y=2x+1 (x≤1) ①
y=2x²-x+5 (x>1) ②
（１０）分段函数
y=2x (x<0) ①
y=3x² (x>0) ②
解：（１）定义域不是实数，所以不是连续的，也没有连续区间。
（２）该函数实际是分段函数
y=4x+3 (x<2) ①
y=2x+7 (x≥2) ②
当x=2，由①得y=11，由②得y=11，可见函数是在(2,11)处折的折线，所以该函数是连续的。
（３）定义域是实数，函数图象是连续的抛物线，所以函数是连续的。
（４）该函数实际是分段函数
y=2x²-3x-7 (x<0) ①
y=2x²+3x-7 (x≥0) ②
当x=0，由①得y=-7，由②得y=-7，可见函数是在(0,-7)相接的2段抛物线，所以该函数是连续的。
（５）定义域不是实数，函数不连续，也没有连续区间。
（６）定义域不是实数，函数不连续，也没有连续区间。
（７）当x=3，由①得y=6，由②得y=6，可见函数是在(3,6)处折的折线，所以该函数是连续的。
（８）当x=0，由①得y=5，由②得y=5，可见函数是在(0,5)相接的1段折线和１段抛物线，所以该函数是连续的。
（９）当x=1，由①得y=3，由②得y=6，可见2段函数图象无相接点，函数不是连续的，该函数的一个连续区间是(x≤1)。
（１０）函数的定义域断开了，不包含x=0，所以函数是不连续的，该函数的一个连续区间是(x<0)。
由上例可知：判断分段函数是否连续，首先看定义域是否连续，再看接口处相邻的解析式计算函数值是否相等。
练习1：判断下面函数是否连续，如果不连续但有连续区间，请找出一个连续区间。注：不注明定义域，则定义域是整个实数。
（１）y=4x²-5|x|+1
（２）y=ax （a不为0的常数，x为全部有理数）
（３）y=3x-|x-2|+5
（４）y=9x (x为全部整数)
（５）y=4x²+4x+1
（６）y=9.9x （x为全部无理数）
（７）分段函数
y=5x+7 (x<0) ①
y=3x²+7 (x>0) ②
（８）分段函数
y=4x +5 (x<3) ①
y=3x+8 (x≥3) ②
（９）分段函数
y=-x²+2x+1 (x≤1) ①
y=2x²-x+2 (x>1) ②
（１０）分段函数
y=2|x-5|+1 (x≤0) ①
y=x²+4x+11 (x>0) ②
附录1：
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
build(t, wc=(-50, -50, 350, 350))
#y=2x（x=0,1,2,3……）
for x in range(9):
t.setpos(20*x,20*2*x)
t.dot("red")
t.setpos(175,-75)
t.write("y=2x（x=0,1,2,3……）",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
t.ht()
附录2：
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
build(t, wc=(-50, -50, 350, 350))
#y=2x（x≥0）
t.pencolor("red")
def f(x):
return 2*x
t.setpos(175, -75)
t.write("y=2x（x≥0）",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
trace(t,0,10,f)
t.ht()
附录3：
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
t.setpos(0,0)
t.dot(5)
t.sety(-15)
t.write("原子核",align="center")
t.pencolor("blue")
t.seth(90)
for n in range(8):
i=25*(n+1)
P=i/2**.5
t.setpos(P, P)
t.dot("red")
t.setpos(P+2, P+2)
t.write("轨%d" % n)
t.setpos(i, 0)
t.down()
t.circle(i)
t.up()
t.ht()
附录4：
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
from math import floor
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
build(t, wc=(-50, -50, 350, 350))
#y=floor(x)（x≥0）
t.pencolor("red")
def f(x):
return floor(x)
t.setpos(175, -75)
t.write("y=floor(x)（x≥0）",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
for n in range(17):
t.setpos(n*20,n*20)
t.dot(5)
trace(t,n+.1,n+1,f)
t.setpos((n+1)*20,n*20)
t.dot(5)
t.dot(3,"white")
t.up()
t.ht()
附录5：
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
build(t, xUnt=(10,40),yUnt=(10,10),wc=(0, 0, 400, 400))
#y=3x（0≤x≤30）
#y=5(x-30)+90（30<x≤60）
#y=7(x-60)+240（x>60）
t.pencolor("red")
def f(x):
if x>60:
return 7*(x-60)+240
elif x>30:
return 5*(x-30)+90
else:
return 3*x
t.setpos(80, 45)
t.write("y=3x（0≤x≤30）",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
t.setpos(195, 165)
t.write("y=5(x-30)+90（30<x≤60）",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
t.setpos(312, 345)
t.write("y=7(x-60)+240（x>60）",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
trace(t,0,100,f)
t.ht()