函数是研究因变量与自变量在变化过程中的数量关系，这种数量关系分为同时增加、同时减少和其他三种方式。函数的单调性是对同时增加和同时减少的解述。
对于一元一次函数y=ax+b（a≠0），
如①，当a>0，函数值随x增大而增大，这种在整个定义域内函数值随自变量增大而增大的函数叫增函数；如②，当a<0，函数值随x增大而减少，这种在整个定义域内函数值随自变量增大而减少的函数叫减函数。这种随自变量增大，函数值总是增大或减少的性质就是单调性。增函数和减函数统称为单调函数。
例题1：根据函数的图象判断函数是否是单调函数（不指明定义域即全部实数）。
（１）y=3x-5
（２）y=|x|+x+1
（３）y=x-floor(x)/2+1 注：floor为向下取整运行
（４）y=x+floor(x)/2+1
（５）y=2|x+1|-7
（６）y=x²+2x-5
（７）y=2x (x为整数)
分析：首先，平行于x轴的任意一条直线与图象相交，有唯一的交点；然后，由于看到的图象不是全部的函数图象，因此需要想象不在画布中的函数图象是怎样的（还有没有“变化”之处）。（３）和（４）比较相像，但不一样；（７）虽然不是连续函数，但不影响单调。
解：
（１）是单调函数，
（２）不是单调函数，
（３）不是单调函数，
（４）是单调函数，
（５）不是单调函数，
（６）不是单调函数，
（７）是单调函数。
用函数图象来判断函数单调性是一条重要的数学方法，但如果没有计算机辅助画图，那就比较耗时。我们学过的一元一次函数是单调函数，绝对值函数和一元二次函数都不是单调函数。如果函数最简解析式由这三种函数“加减”而成，除了一元一次函数是单调函数外，其它都不是单调函数。
绝对值函数和一元二次函数虽然都不是单调函数，但如果用它们的对称轴把它们分为两部分，这两部分的函数就单调了。这种在函数定义域中划出一部分区间，使这个非单调函数在这个区间上是单调的，这个区间就是单调区间。绝对值函数和一元二次函数都可以划分为两个单调区间。
如果单调增和单调减两个区间是连在一起，转折的地方必然出现最大值（由单调增转单调减，例如y=-x²）或最小值（由单调减转单调增，例如y=x²）。
例题2：求下面一元二次函数的单调区间，并注明增减；当x是什么值时它们的函数值最大或最小，并指出来。
（１）y=3x²-12x+5，
（２）y=-2x²+36x-3。
分析：一元二次函数被对称轴分为两个单调区间，为了求出对称轴，对它们进行配方。
解：（１）
y=3x²-12x+5，
y=3(x²-4x)+5，
y=3(x²-4x+4-4)+5，
y=3(x²-4x+4)-3×4+5，
y=3(x-2)²-7，
在x≤2区间，函数单调减；在x≥2区间，函数单调增；当x=2时函数值最小，是-7。
（２）
y=-2x²+36x-3，
y=-2(x²-18x)-3，
y=-2(x²-18x+81-81)-3，
y=-2(x²-18x+81)+2×81-3，
y=-2(x-9)²+239，
在x≤9区间，函数单调增；在x≥9区间，函数单调减；当x=9时函数值最大，是239。
练习题1：判断下面函数是否是单调函数，如果是则指出增减（不指明定义域即全部实数）。
（１）y=2|x-3|+5，
（２）y=-4|3x+5|-17，
（３）y=93x+8，
（４）y=2|x+3|-5x+2，
（５）y=2x²+4x-9，
（６）y=-5x²+7x-1，
（７）y=x²+|x|+1，
（８）y=2x² (x≥0的有理数)，
（９）y=2x+1 （x为整数）。
练习题2：求下面函数的单调区间，并注明增减；当x是什么值时它们的函数值最大或最小，并指出来。
（１）y=-7x²-28x+9，
（２）y=5x²-50x-7，
（３）y=99|x+5|+1，
（４）y=-7|2x-9|+8。
附录1：
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
build(t)
#y=2x+1
t.pencolor("blue")
def f(x):
return 2*x+1
t.setpos(50, 100)
t.write("① y=2x+1",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
trace(t,-10,10,f)
#y=-2x-1
t.pencolor("red")
def f2(x):
return -2*x-1
t.setpos(50, -120)
t.write("② y=-2x-1",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
trace(t,-10,10,f2)
t.ht()
附录2：
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
build(t)
#标题
t.setpos(0, 210)
t.write("图二 y=3x-5图象",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
t.setpos(0,-230)
t.write("作图代码附录2",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
#y=3x-5
t.pencolor("blue")
def f(x):
return 3*x-5
t.setpos(70, 80)
t.write("y=3x-5",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
trace(t,-10,10,f)
t.ht()
附录3：
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
build(t)
#标题
t.setpos(0, 210)
t.write("图三 y=|x|+x+1图象",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
t.setpos(0,-230)
t.write("作图代码附录3",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
#y=|x|+x+1
t.pencolor("blue")
def f(x):
return abs(x)+x+1
t.setpos(50, 100)
t.write("y=|x|+x+1",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
trace(t,-10,10,f)
t.ht()
附录4：
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
from math import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
build(t)
#标题
t.setpos(0, 210)
t.write("图四 y=x-floor(x)/2+1图象",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
t.setpos(0,-230)
t.write("作图代码附录4",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
#y=x-floor(x)/2+1
t.pencolor("blue")
def f(x):
return x-floor(x)/2+1
for i in range(-10,10):
trace(t,i,i+.95,f)
t.ht()
附录5：
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
from math import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
build(t)
#标题
t.setpos(0, 210)
t.write("图五 y=x+floor(x)/2+1图象",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
t.setpos(0,-230)
t.write("作图代码附录5",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
#y=x+floor(x)/2+1
t.pencolor("blue")
def f(x):
return x+floor(x)/2+1
for i in range(-10,10):
trace(t,i,i+.95,f)
t.ht()
附录6：
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
from math import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
build(t)
#标题
t.setpos(0, 210)
t.write("图六 y=2|x+1|-7图象",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
t.setpos(0,-230)
t.write("作图代码附录6",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
#y=2|x+1|-7
t.pencolor("blue")
t.pensize(2)
def f(x):
return 2*abs(x+1)-7
trace(t,-10,10,f)
t.ht()
附录7：
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
from math import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
build(t)
#标题
t.setpos(0, 210)
t.write("图七 y=x²+2x-5图象",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
t.setpos(0,-230)
t.write("作图代码附录7",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
#y=x²+2x-5
t.pencolor("blue")
t.pensize(2)
def f(x):
return x**2+2*x-5
trace(t,-10,10,f)
t.ht()
附录8：
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
from math import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
build(t)
#标题
t.setpos(0, 210)
t.write("图八 y=2x(x为整数)图象",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
t.setpos(0,-230)
t.write("作图代码附录8",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
#y=2x (x为整数)
t.pencolor("blue")
t.pensize(2)
def f(x):
return 2*x
for i in range(-5,6):
t.setpos(20*i, 20*f(i))
t.dot()
t.ht()