一元二次函数

y=x²

由于自变量值与函数值不能一一对应，没有逆函数。但这个函数可以分为2个单调区间，每个单调区间的自变量值与函数值是一一对应。在时间应用中一般采用x≥0区间，即

y=x²　（x≥0）

的逆函数是

y=sqrt(x)　　(x≥0），

读作y等于根号x，就是平方根函数了。

　　在同一个坐标平面绘画出上面两个函数，如下图，作图代码附录1。

由图确实看到两个函数互逆的。

　　例题1：已知函数

y=x²-2x-3，

求这个函数在增区间的逆函数。

解：

y=x²-2x+1-4，

y=(x-1)²-4。

当x=1时，函数值最小等于-4，即增区间是

x≥1，

值域

y≥-4。

函数在增区间的函数

y=x²-2x-3　（x≥1）①

它的逆函数是

y=1+sqrt(x+4)　（x≥-4)。②

　　在同一个坐标平面绘画出上面①②两个函数验证一下，如下图，作图代码附录2。

　　自变量的取值范围是定义域，函数值的取值范围是值域，逆函数把值域和定义域对换了。

　　对于一元二次函数，增区间的逆函数也是增函数；减区间的逆函数也是减函数，因此先求出可选的逆函数，在选增或减函数就行。例题1可以这样解：

y=x²-2x+1-4，

y=(x-1)²-4，

(x-1)²=y+4，

x-1=±sqrt(y+4)，

x=1±sqrt(y+4)。

由于需要的是增函数，另外底不可以小于0，得增区间的逆函数是

y=1+sqrt(x+4) (x≥-4)。

　　原函数是它的逆函数的逆函数，那平方根函数是否都可逆呢？先看下面的函数

y=sqrt(1-x²）。

可以看到x=1或x=-1时，都是y=0。可见平方根式函数与其他函数一样，有可逆也有不可逆的。描绘出y=sqrt(1-x²）的图象如下，作图代码附录3。

　　练习题1：求下面一元二次函数增区间的逆函数

y=-4x²-4x+8。

附录1：

import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)  
t.up()
build(t,)

#标题与函数解析式
t.setpos(0, 210)
t.write("y=x²(x≥0)和y=sqrt(x)(x≥0)图象",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))

#对称轴
t.setpos(-200,-200)
t.seth(45)
tmp=0
while tmp<400*2**.5+1:
    t.down()
    t.fd(2.5)
    t.up()
    t.fd(2.5)
    tmp+=5
t.setpos(120,100)    
t.write("y=x",font=(markFont[0],14,markFont[2]))

t.pencolor("#880000")
#y=x²(x≥0)
def f(x):
    return x**2
trace(t,0,10.1,f)
t.setpos(20*8**.5+10,160)
t.write("y=x²",font=(markFont[0],14,markFont[2]))

#y=sqrt(x)(x≥0)
t.pencolor("#000088")
def f2(x):
    return x**.5
trace(t,0,10.1,f2)
t.setpos(200,20*f2(10)+5)
t.write("y=sqrt(x)",align="right",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
t.ht()

附录2：

import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)  
t.up()
build(t,)

#标题与函数解析式
t.setpos(0, 210)
t.write("y=x²-2x-3(x≥1)和y=1+sqrt(x+4)(x≥-4)图象",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))

#对称轴
t.setpos(-200,-200)
t.seth(45)
tmp=0
while tmp<400*2**.5+1:
    t.down()
    t.fd(2.5)
    t.up()
    t.fd(2.5)
    tmp+=5
t.setpos(120,100)    
t.write("y=x",font=(markFont[0],14,markFont[2]))

t.pencolor("red")
#y=x²-2x-3(x≥1)
def f(x):
    return x**2-2*x-3
trace(t,1,10.1,f)
t.setpos(50,-80)
t.write("y=x²-2x-3",font=(markFont[0],14,markFont[2]))

#y=1+sqrt(x+4)(x≥-4)
t.pencolor("blue")
def f2(x):
    return 1+(x+4)**.5
trace(t,-4,10.1,f2)
t.setpos(-85,20)
t.write("y=1+sqrt(x+4)",align="right",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
t.ht()

附录3：

import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)  
t.up()
build(t,xUnt=(1,100),yUnt=(1,100))

#标题与函数解析式
t.setpos(0, 210)
t.write("y=sqrt(1-x²）图象",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))

#y=sqrt(1-x²）
t.pencolor("red")
def f(x):
    return (1-x**2)**.5
trace(t,-1,1,f)

t.ht()