假如P是含未知数的代数式,则
sqrt(P)≥0 (P≥0),
只有P=0时,sqrt(P)=0。
平方根的底≥0,平方根的值≥0,只有平方根的底=0时,平方根的值=0。
例题1:解下面根式方程
sqrt(x-1)+sqrt(y-2)+sqrt(z-3)=0。
解:因为
sqrt(x-1)≥0,
sqrt(y-2)≥0,
sqrt(z-3)≥0,
sqrt(x-1)+sqrt(y-2)+sqrt(z-3)=0,
所以
sqrt(x-1)=0,
sqrt(y-2)=0,
sqrt(z-3)=0。
得
x-1=0,
y-2=0,
z-3=0。
方程的解是
x=1,
y=2,
z=3。
平方根函数是单调函数,并且底数要不小于0 ,所以底数越大平方根越大。
例题2:解下面方程
sqrt(2x-1)-2=0。
分析:这种只出现一处根号,而且底数中有未知数,移项后平方可解。
解:移项
sqrt(2x-1)=2,
两边平方
2x-1=4,
得方程解
x=5/2。
例题3:解下面方程
sqrt(4x+1)-x-1=0。
解:移项
sqrt(4x+1)=x+1,
两边平方
4x+1=x²+2x+1,
x²-2x=0,
x(x-2)=0。
得
x1=0,x2=2。
两个解都使4x+1>0,原方程的解是
x1=0,x2=2。
作图验证如下,作图代码附录1。
不是所有这种方程都有解的,例如下面的方程
sqrt(2x-1)-x-1=0
无解,因为
sqrt(2x-1)=x+1,
2x-1=(x+1)²,
2x-1=x²+2x+1,
x²=-2不可能。
例题4:解下面方程
sqrt(1-x)+sqrt(1+x)=2。
分析1:这种有两处根号,底代数式通过加减法可以得到常数的根式方程,用换元法转化为方程组后解答。
解1:令m=sqrt(1-x),n=sqrt(1+x),则
m²+n²=1-x+1+x=2,①
m + n =2。 ②
把②转化为n=2-m代入①,得
m²+(2-m)²=2,
2m²-4m+4-2=0,
m²-2m+1=0,
(m-1)²=0,
得
m=1,
即
sqrt(1-x)=1,
1-x=1,
原方程解是
x=0。
分析2:这种除了2个根号里有未知数外,别的地方没有未知数,只要把这2个带未知数的根号放在等式一边,平方后即可变为只有1个带未知数的根号,从而得解。
解2:方程两边平方,得
1-x+2sqrt(1-x²)+1+x=4,
sqrt(1-x²)=1,
1-x²=1。
得解
x=0。
作图验证如下,作图代码附录2。
例题5:解下面方程
sqrt(2x+5)+sqrt(3x-5)=10。
解1:令m=sqrt(2x+5),n=sqrt(3x-5),则
3m²-2n²=6x+15-6x+10=25, ①
n=10-m ②
把②代入①,得
3m²-2(10-m)²=25
m²+40m-200=25
(m+20)²=625
m=5
即
sqrt(2x+5)=5
2x+5=25
x=10
通过验证,得原方程解
x=10。
解2:方程两边平方
2x+5+2sqrt(6x²+5x-25)+3x-5=100
2sqrt(6x²+5x-25)=100-5x
24x²+20x-100=10000-1000x+25x²
x²-1020x+10100=0
(x-1010)(x-10)=0
得
x1=1010,x2=10
1010显然不适合,x=10代入方程验证得解
x=10。
作图验证如下,作图代码附录3。
练习题1:解下面根式方程
sqrt(x+2)+sqrt(2y+3)+sqrt(3z+4)=0。
练习题2:解下面方程
5-sqrt(3x+1)=0。
练习题3:解下面方程
sqrt(6x-3)-x-1=0。
练习题4:解下面方程
sqrt(6-2x)+sqrt(7+2x)=5。
练习题5:解下面方程
sqrt(2x+1)+sqrt(3x+4)=7。
附录1:
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
build(t)
#标题与函数解析式
t.setpos(0, 210)
t.write("y=sqrt(4x+1)-x-1图象",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
#y=sqrt(4x+1)-x-1
t.pencolor("red")
def f(x):
return (4*x+1)**.5-x-1
trace(t,-1/4,10,f)
t.ht()
附录2:
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
build(t,xUnt=(1,80),yUnt=(1,80))
#标题与函数解析式
t.setpos(0, 210)
t.write("y=sqrt(1-x)+sqrt(1+x)-2图象",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
#y=sqrt(1-x)+sqrt(1+x)-2
t.pencolor("red")
def f(x):
return (1-x)**.5+(1+x)**.5-2
trace(t,-1,1,f)
t.ht()
附录3:
import sys
sys.path.append("/5xstar/pyfiles")
from mymath.rcs import *
import turtle as t
t.setup(500,500)
t.screensize(400,400)
t.up()
build(t,xUnt=(1,10),yUnt=(1,10))
#标题与函数解析式
t.setpos(0, 210)
t.write("y=sqrt(2x+5)+sqrt(3x-5)-10图象",align="center",font=(markFont[0],14,markFont[2]))
#y=sqrt(2x+5)+sqrt(3x-5)-10
t.pencolor("red")
def f(x):
return (2*x+5)**.5+(3*x-5)**.5-10
trace(t,5/3,20,f)
t.ht()