在中国古代，把不等腰的直角三角形叫做勾股形，短直角边为“勾”，长直角边为“股”，斜边为“弦”。人们研究勾股弦的关系，最初是为了建房子的需要。要构架一个直角三角形的框架，三个边长的大小是要符合一定的比例关系的。因为古代尺子精密度比较低，所以整数的长度就显得比较重要。这些能组成一个直角三角形的3个整数叫做勾股数。

　　根据我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就已经知道，如果勾是三、股是四那么弦是五。也就是说在那时候，我国古人已经发现了一组勾股数3、4、5。可能已发现了很多组勾股数，只不过没有记载下来。

　　不难发现

3²＋4²=5²。

人们对这些勾股数的研究发现了一个规律：勾数的平方加股数平方等于弦数的平方。因此人们就猜想把这种情况推广到所有的直角三角形，提出了1个命题。

　　命题1　如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

a²+b²=c²。

　　在此后1000多年的时间里，我国没有记载命题1的证明方法。但却在生产活动中广泛的应用。在我国古代，数学纯属应用工具。

　　公元3世纪，我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了他的证明。如下图

，人们称它为“赵爽弦图”。赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形(红色)可以如图围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形(黄色)。

　　赵爽利用弦图证明命题1的基本思路如下：把边长为a，b的两个正方形连在一起（如下图1），它的面积是a²+b²；另一方面，这个图形可分割成四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）。把下图(1)中左、右两个三角形移到下图(2)中所示的位置,就会形成一个以c为边长的正方形（下图(3)）。因为下图1(1)与(3)都由四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）组成，所以它们的面积相等，因此，a²+b²=c²。

　　这样我们就证实了命题1的正确性，命题1与直角三角形的边有关。我国把它称为勾股定理(Pythagoras theorem)。这样，我国的勾股定理可以追索到公元前11世纪。

　　在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理。勾股数，被叫做毕达哥拉斯三元数组。为了说明毕达哥拉斯定理就要从毕达哥拉斯三元数组说起。

　　就从普林顿（Plimpton）322号收藏品（它在哥伦比亚大学的普林顿收藏中的编号是322。看下图）

说起，它是公元前1800年到公元前1600年，在古巴比伦（美索不达米亚）制成的泥板。上面的文字基本破解，是毕达哥拉斯三元数组（勾股数）列表！通过泥板上数字计算出来的毕达哥拉斯三元数组举例：(119,120,169)、(4601,4800,6649)、(481,600,769)、(161,240,289)、(56,90,106)。

　　对于古巴比伦数学家是如何发现这些三元数组，包括(4601,4800,6649)这样数值巨大的三元数组，仅有一个比较合理的解释，即他们可能知道某种算法。

　　在那些年代和后来的1000多年里，数学只是为物质生产服务的工具，

不会有人想到要证明什么的。

　　2500多年前，古希腊文明兴起，这个文明与别的古文明有很大的区别。其中，研究“无用”数学——纯粹数学成了潮流。毕达哥拉斯学派（古希腊所谓的学派，与我们的武术流派比较相似，武术流派研究武术，学派研究学术，好像都有一定的神秘色彩。例如，毕达哥拉斯学派的最出名的教条——世界万物由整数和整数之比构成。）对整数和分数进行了较为深入的研究，当然少不了勾股数（毕达哥拉斯三元数组）。

　　毕达哥拉斯学派得出了一个法则，能求出可排成直角三角形三边的三元数组（他们说的数只是整数）。他们发现：

若m是奇数，则m，(m²-1)/2及(m²+1)/2便是这样的三元数组。

不过这法则只给出一部分的这种三元数组。如今我们把能形成直角三角形三条边的三个整数所构成的任何集合统统称为勾股数（毕达哥拉斯三元数组）。

　　希腊人对数学的最重大贡献是坚持一切数学结果必须根据明白规定的公理用演绎法推出——这就是所谓的证明。可是毕达哥拉斯本人、毕达哥拉斯学派早期和中期，这种学术的气氛还没有形成，所以他本人和学派早期及中期，已提出证明勾股定理方法是不太可能的。在该学派存在的大部分时间里，他们是根据一些特例来肯定所得的结果的。不过到了学派晚期，即公元前400年左右，由于其他方面的发展，证明在数学中所处的地位改变了，所以学派晚期的成员可能作出了合法的证明。

　　大约公元前300年，欧几里得在他的著作《几何原本》给出了勾股定理（毕达哥拉斯定理）的证明，是现存的最早的证明方法。是欧几里得本人提出的证法，还是他的前人作出的呢？由于现在已没有这种证法的更早的记载，一般认为是欧几里得本人提出的证法。就像赵爽证法一样，由于在有记载资料里，首次发现于他的著作中。下面是兰纪正《几何原本》译本中的勾股定理（毕达哥拉斯定理）的证明。

　　设ABC是直角三角形，已知角BAC是直角。

　　我断言BC上的正方形等于BA，AC上的正方形的和。

　　事实上,在BC上作正方形BDEC，且在BA，AC上作正方形GB，HC。[I. 46]

——本文注：引用命题46：在给定的线段上作一个正方形。本定理是命题47，引用只能向前，说明《原本》是非常严谨的。

　　过A作AL平行于BD或CE，连接AD，FC。

　　因为角BAC，BAG的每一个都是直角，在一条直线BA上的一个点A有两条直线AC，AG不在它的同一侧所成的两邻角的和等于二直角，于是CA与AG在同一条直线上。[I. 14]

——本文注：引用命题14：如果过任意直线上一点有两条直线不在这一直线的同侧，且和直线所成邻角和等于二直角。则这两条直线在同一直线上。CA与AG在同一条直线上是显然易见的，但在《原本》中，不可以存在显然易见的依据，需要从公理和公设出发去证明。

　　同理，BA也与AH在同一条直线上。

　　又因角DBC等于角FBA；因为每一个角都是直角；给以上两角各加上角ABC；所以，整体角DBA等于整体角FBC。[公理2]

——本文注：引用公理2：等量加等量，其和仍相等。

　　又因为DB等于BC，FB等于BA；两边AB，BD分别等于两边FB，BC。

　　又角ABD等于角FBC；所以底AD等于底FC，且三角形ABD全等于三角形FBC。[I. 4]

——本文注：引用命题4：如果两个三角形中，一个的两边分别等于另一个的两边，而且这些相等的线段所夹的角相等。那么，它们的底边等于底边，三角形全等于三角形，这样其余的角也分别等于相应的角，即那些等边所对的角。

　　现在，平行四边形BL等于三角形ABD的二倍,因为它们有同底BD且在平行线BD，AL之间。[I.41]

——本文注：引用命题41：如果一个平行四边形与一个三角形既同底又在二平行线之间，则平行四边形是这个三角形的二倍。

　　又正方形GB是三角形FBC的二倍，因为它们又有同底FB且在相同的平行线FB，GC之间。[I.41]

　　 [但是，等量的二倍仍然是彼此相等的。]

　　故平行四边形BL也等于正方形GB。

　　类似地，若连接AE、BK，也能证明平行四边形CL等于正方形HC。

　　故整体正方形BDEC等于两个正方形GB，HC的和。[公理2]

　　而正方形BDEC是在BC上作出的，正方形GB，HC是在BA，AC上作出的。

　　所以，在边BC上的正方形等于边BA，AC上正方形的和。

证完

　　虽然没有确凿的证据说明毕达哥拉斯学派证明了勾股定理（毕达哥拉斯定理），但毫无疑问，毕达哥拉斯学派与它之前的发现不一样，它以前的勾股数（毕达哥拉斯三元数组）都是零星的和实用的技术，而它最先、最系统、为数学而非实用地研究勾股数（毕达哥拉斯三元数组）的学派。提出本文提到的勾股数（毕达哥拉斯三元数组）的算法，虽然不全面，但足以说明，毕达哥拉斯学派对勾股定理（毕达哥拉斯定理）作出了巨大贡献。西方把它命名为毕达哥拉斯定理，实至名归。

　　数学分为应用数学和理论数学，古希腊那些数学，现在看起来应用广泛，但那时候百分百是“无用”的数学。可是，就是这些“无用”的数学在1000多年后推动西方科技发展，赶超东方科技发展水平。直到现在，我们还没有对“无用”数学足够的重视。我们落后的根本原因在于对科学实用性的过分追求，对“无用”的科学不屑一顾。刮骨疗伤，亡羊补牢！

　　例题1：下二图是传说中的毕达哥拉斯的证法（如果传说是真的，那应该是学派后期，大约公元前400年。），请简述他的证明思路。

　　解：图一是由4个直角边是a，b的直角三角形和边长分别为a，b的正方形组成；图二是4个直角边是a，b的直角三角形和边长为c（直角三角形的斜边）的正方形组成；由于构成的外正方形边长都是a+b，所以两个外正方形相等；除开4个三角形，即斜边上的正方形面积等于二直角边上的正方形面积和。

　　练习题1：下图弦图的另一种证法，请简述他的证明思路。

　　练习题2：下图是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的证法，，请简述他的证明思路。

　　练习题3：网上搜索一种证法，并简述证法的过程。