埃及文明源自何处至今未知，但它肯定在公元前4000年之前就已存在。说起埃及，就不得不说尼罗河，这条河把南方的水一年一度地泛滥到沿河两岸之后留下沃土，古埃及人一直靠耕种这片沃土谋生。这国家的其余部分是荒漠。每次泛滥后国家就需要重新测量土地，他们用正方形作为土地的面积单位，为了计算方便，把土地分为矩形（长方形）。像土地那么大尺寸，如何保证他们划分的土地块是矩形呢？
据说，古埃及人用下图
的方法作出直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。这样就能划分土地为矩形，面积的计算就更精确了。
这意味着古埃及人知道(3, 4, 5)这个勾股数（毕达哥拉斯三元数值）来确定一个直角。他们怎么会确信这个角是直角呢？
我想，他们在实践中已悟出了一个道理：确定长度的三条边只能围成相同的三角形——三角形稳定性。
(3, 4, 5)这个勾股数比较小，在长期的土地测试中是很容易发现的，因此他们使用这个勾股数来确定直角就不足为奇了。
相传，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似方法确定直角，也有一定的可信度。
在生产活动中对勾股数的长期使用，人们可能会积累更多的勾股数，例如(5, 12, 13)、(8, 15, 17)这些小的勾股数是极其容易被发现的。
从这些勾股数的关系
3²+4²=5²，
5²+12²=13²，
8²+15²=17²
提出了上一节课的命题1（勾股定理）。勾股定理对上面的勾股数实际应用显然描述不直接，于是人们把命题1的题设（条件）和结论（结果）调过来。
命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
我们看到，命题2与上节的命题1的题设、结论位置正好相反。我们把像这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。例如，如果把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题。
上节已证明命题1（勾股定理）正确，那么命题2一定正确吗？下面举个例子说明。
原命题：人都会呼吸。题设：人，结论：会呼吸。
逆命题：会呼吸都是人。题设：会呼吸，结论：人。
原命题是正确的，但逆命题是错误的。这个说明，虽然我们证明了命题1（勾股定理）正确，但这不能说明它的逆命题——命题2一定正确。
上一节课我们提到了证明是什么，但没有详细的讨论，这里对证明进行一些简要的说明。
我们从著名的亚里士多德三段论开始。
大前提：人都会死。
小前提：苏格拉底是人。
结论：苏格拉底会死。
大前提是对一大类事物的判断，小前提是小类或个体属于大类的判断，结论是小类或个体也有同样的判断——演绎法。这是数学证明里使用最多的方法。
另外，也不得不说亚里士多德的排中律。
正命题：Ta是人。
反命题：Ta不是人。
在正命题和反命题中有而且只有1个命题是正确的——排中律。用上面的例子，如果“Ta是人”是正确的，那“Ta不是人”是错误的；如果“Ta是人”是错误的，那“Ta不是人”是正确的；如果“Ta不是人”是正确的，那“Ta是人”是错误的；如果“Ta不是人”是错误的，那“Ta是人”是正确的。
排中律是人类最容易理解的思维方式，但容易出错。这往往会被诡辩者利用。下面是个简单的例子（诡辩者的情况要复杂得多）：
张三是教授。
李四是工人。
王五不是工人。
结论：王五是教授。
也许你明知道他的结论是错误的，就不知道怎么反驳他。如果不细想也容易被忽悠，接受错误的思想。就这个例子，因为除了教授不是工人外，还有很多职业不是工人，例如医生，王五不是工人，只是说明他可能是教授而不能肯定他是教授。
再举个例子。
正命题：他那里现在是黑夜。
反命题：他那里现在不是黑夜。
因为他那里现在不是黑夜，所以他那里现在是白天。
黑夜和白天是对立，这里例子把排中律当做对立来处理是不对的。因为除了白天不是黑夜，还有极昼，太空也没有昼夜之分。
排中律，就是把一个整体的范围一分为二，该范围内的事物不是属于这个范围就是属于那个范围，没有中间的情况。例如：是人和不是人合起来是1个整体；是工人和不是工人合起来也是1个整体；是黑夜和不是黑夜合起来也是1个整体。总的来说，只有“是……”和“不是……”合起来才符合排中律。
排中律也在数学证明中使用——归谬法，也叫反证法。
演绎法、归谬法（反证法）就是我们数学里用到的证明方法。
命题2分析：以a，b为直角边作一个直角三角形，根据勾股定理可得到它的斜边是c，这样三边与命题2的三角形三边分别相等，只要能证明三边分别相等的两个三角形相等就行了。我们可以采用反证法证明三边分别相等的两个三角形相等。
命题2证明：（１）假设三边分别为a，b，c的两个△ABC（AB=a，AC=b，BC=c）和△A'B'C'（A'B'=a，A'C'=b，B'C'=c）不相等。不失一般性，设∠ABC＞∠A'B'C'，使两个△的BC边和B'C'边重叠在一起（即B与B'重叠，C与C’重叠），A和A'在BC的同一侧，那么A'的位置有三种情况：下图１（A'在△ABC内）、下图2（A'在AC边上，不包括A、C点）、下图3（A'在△ABC外）。作图代码附录1。
图1：A'在△ABC内，过A'点，作线段交于AB和AC与M和N点，由于
AM+AN＞MN ①
MB+MA'>A'B' ②
NC+NA'>A'C' ③
MA'+NA'=MN ④
把④代入①得
AM+AN＞MA'+NA' ⑤
②、③、⑤左右分别相加
MB+MA'+NC+NA'+AM+AN>A'B'+A'C'+MA'+NA'
(AM+MB)+(AN+NC)+(MA'+NA')>A'B'+A'C'+(MA'+NA')
两边减(MA'+NA')得
AB+AC>A'B'+A'C'
和条件
AB=A'B'，AC=A'C'
相矛盾，所以A'在△ABC内是不可能的。
图2：A'在AC边上，即A'C'是AC的一部分，即
A'C'+A'A=AC，
这与A'C'=AC相矛盾，所以A'在AC边上也是不可能的。
图3：A'在△ABC外，设B'A'与AC交于O点，则
OA+OB'＞AB ⑥
OA'+OC>A'C' ⑦
⑥、⑦左右分别相加，得
OA+OB'+OA'+OC＞AB+A'C'
(OA+OC)+(OB'+OA')>AB+A'C'
AC+A'B'>AB+A'C'
这与A'C'=AC和AB=A'B'相矛盾，A'在△ABC外也是不可能的。
综合上述，得到三边分别为a，b，c的两个△ABC（AB=a，AC=b，BC=c）和△A'B'C'（A'B'=a，A'C'=b，B'C'=c）不相等是不可能的，（排中律）所以三边分别为a，b，c的两个△ABC（AB=a，AC=b，BC=c）和△A'B'C'（A'B'=a，A'C'=b，B'C'=c）相等。
（２）以a，b为直角边作三角形，根据勾股定理，斜边c'必然符合
a²+b²=c'²。
又由于
a²+b²=c²，
得
c'²=c²。
由于c'和c都是正数，所以
c'=c。
即这两个三角形的三边都分别相等，由（１）可知它们是相等的三角形，所以a和b的夹角也是直角。
命题2证毕。
这样我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理。我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理。它是判定直角三角形的一个依据。
一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。所以勾股定理的逆定理的逆定理是勾股定理。
例题1：我们知道3，4，5是一组勾股数，那么3k，4k，5k(k是正整数)也是一组勾股数吗？一般地，如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck(k是正整数)也是一组勾股数吗?
解：
（１）
∵ (3k)²+(4k)²=9k²+16k²=25k²=(5k)²，
∴ 3k，4k，5k(k是正整数)也是一组勾股数。
（２）
∵ (ak)²+(bk)²=a²k²+b²k²=(a²+b²)k²=c²k²=(ck)²，
∴ ak，bk，ck(k是正整数)也是一组勾股数。
由上一例可知，勾股数是三个数的比例，例如3，4，5是一组勾股数，就是说，边长是3:4:5的三角形是直角三角形。
练习题1：有连续的一对正整数b和c，它们的和是一个平方数，是否存在一个正整数a，使a，b，c能构成一个直角三角形？
练习题2：有一对不同的正整数b和c（c>b），它们的和（c+b）是它们的差（c-b）的2k+1（k是正整数）次方，是否存在一个正整数a，使a，b，c能构成一个直角三角形？
附录1：
import turtle as t
t.setup(800,300)
t.screensize(700,200)
t.up()
for i in range(3):
t.setpos(-250+i*250, -120)
t.write("图"+str(i+1),align="center",font=("Arial", 14, "normal"))
t.setpos(-315+i*250, -90)
t.write("B B'",align="right",font=("Arial", 14, "normal"))
t.setx(-185+i*250)
t.write("C C'",font=("Arial", 14, "normal"))
t.setpos(-230+i*250, 75)
t.write("A",align="center",font=("Arial", 14, "normal"))
t.setpos(-315+i*250, -70)
t.down()
t.setx(-185+i*250)
t.setpos(-230+i*250, 70)
t.setpos(-315+i*250, -70)
if i==0:
t.setpos(-230,20)
t.setpos(-185+i*250,-70)
#作过A'点，与AB和AC分别交于M和N点的线段。
t.up()
L=50*130/140
X=-230-L*85/130
t.setpos(X-5, 10)
t.write("M",align="right",font=("Arial", 14, "normal"))
t.setpos(X, 20)
t.seth(0)
d=0
while d<L:
t.down()
t.fd(2.5)
t.up()
t.fd(2.5)
d+=5
t.setpos(t.pos()[0]+5, 10)
t.write("N",font=("Arial", 14, "normal"))
elif i==1:
t.setpos(26, 49)
else:
t.setpos(295, 50)
t.setpos(-185+i*250,-70)
t.up()
t.setpos(270, 25)
t.write("O",align="center",font=("Arial", 14, "normal"))
t.up()
t.setpos(-230, 25)
t.write("A'",align="center",font=("Arial", 14, "normal"))
t.setpos(30, 49)
t.write("A'",font=("Arial", 14, "normal"))
t.setpos(300, 50)
t.write("A'",font=("Arial", 14, "normal"))
t.ht()