强基初中数学&学Python——第109课 数学的诞生之三:尺规作图与古希腊三大作图题

 

  只用无刻度直尺和圆规作图叫做尺规作图。为什么要限于尺规作图的解释有多种说法。其中一种比较普遍的说法是,希腊人认为直线和圆是最基本的图形,而直尺和圆规分别是它们的对应工具,所以用这两种工具比较好。另一种说法是,柏拉图反对用其他杋械工具,他认为其他杋械工具依赖派生的主观感觉而不是原生的客观规律。不过,很可能在公元前5世纪时对这种限制不甚严格;作图题在希腊几何中起了重要作用,在欧几里得《原本》的公理体系中限制只许用尺规作图后,这一限制就严格起来了。例如,帕普斯说,若图形能用尺规作出,那么用其他方法来作图就不可取(意思可能是:不是正统数学方法)。

  有好些数学研究成果是为解决三个著名的作图问题而得出的副产品。这三个作图题是:

1、圆化方——作一正方形使其与给定的圆等面积;

2、倍立方——给定一立方体的边,求作2倍体积的另一立方体的边;

3、三分角——用尺规三等分任意角。

  这些著名作图题的起因有多种说法。例如,关于倍立方问题起因,在埃拉托斯特尼(Eratosthenes,约公元前284——192)的一本书中的一种说法是:得洛斯地方的人遭瘟疫,求教于巫神,巫神告诉他们应把现有立方祭坛加倍。得洛斯人知道把祭坛边加倍是不对的,于是就去找柏拉图。柏拉图告诉他们说,巫神之意并不在于要双倍大的祭坛,而只是借此谴责希腊人不重视数学,并对几何不够尊崇。

  实际上,这些作图题是希腊人在解出了一些作图题之后的引申。因任意角可二等分,自然就想试三等分。因以正方形对角线为一边的正方形有两倍于前者的面积,就理所当然地提出相应的倍立方体问题。圆化方问题是希腊人求作一定形状的图形使之与给定图形等面积这类问题中的典型问题。此外还有不太出名的求作正七边形或更多边数的正多边形问题,不过,这些也是在作出正方形、正五边形、正六边形之后引申出来的。

  公元前479年,希腊在迈开里(Mycale)打败波斯后,雅典便成为希腊城邦联盟中的主要城市和商业中心。著名古希腊领袖伯里克利(Pericles)把雅典建成一座美丽的城市。爱奥尼亚派、毕达哥拉斯派以及其他的学者都被吸引到雅典来。这里人们注重抽象推理和理性思维,就催生了一个重要的学派——诡辨派。这个学派中有文法、修辞、辫证法、演讲术、人伦、几何、天文和哲学等方面的大师。他们的主要目标之一是企图用数学来了解宇宙是怎样运转着的。

  爱奥尼亚派学者阿那克萨哥拉最早研究这三大名题,据说他在牢房里还研究化圆为方问题,但他的结果如何不得而知。诡辩学派中,最出名的是伊利斯城【Elis,希腊伯罗奔尼撒(Peloponnesus)的城市】的希比亚斯(Hippias)。生于公元前460年左右,是苏格拉底(Socrates)同时代的人。  希比亚斯在设法三等分一角时发明了一种新曲线叫割圆曲线。割圆曲线是这样形成的:如下图

 

AB顺时针方向以匀速绕A转到AD的位置。同时让BC平行于其自身以匀速下移到AD。设AB转到ADBC移到B'C。令E'ADB'C的交点,则E'便是割圆曲线BE'G上的一点。G是割圆曲线的终点(实为邻近点的延伸)。

  这曲线若能作出,就可三等分任一锐角。令这个角是,把y三等分使E'H=2H'H。过H'B"C"令其交割圆曲线于L。作AL。于是便有∠LAD=∮/3。由于匀速旋转一个直角和匀速下降一个半径的时间相等,得

∮ : π/2 = y : a (a为半径)   ①

同理得

∠LAD : π/2 = H'H : a 

∠LAD : π/2 = y/3 : a  

∠LAD∮/3 

只可惜割圆曲线本身是不能用尺规作出的。

  公元前5世纪下半叶,开奥斯(Chios)的数学家希波克拉底到雅典谋生。他不属于诡辩派,很可能属于毕达哥拉斯派。据说,他最早提出按命题证明所需依据的先后次序来编排命题的证明(欧几里得《原本》编排方法)和间接证法。可惜,他所著的几何书《原本》(Elements)已经失传,也许欧几里得的《原本》引用了他的《原本》中的一些内容。

  希波克拉底也没有解决圆化方问题,但他解决了一个相似的问题。如下图

 

,设ABC是一等腰直角三角形,并设它内接于中心为O的半圆。设AEB是以AB为直径的半圆,则有

半圆ABC的面积/半圆AEB的面积=AC²/AB²=2/1

因此

四分之一圆OADB的面积=半圆AEB的面积。

现在把两者的公共面积ADB去掉,则

月牙形AEBD的面积 = 三角形AOB的面积。

他虽然不能化圆为方,但把一个以曲线弧为边的月牙形转化成可以计算面积的直角三角形。

  很可能,希波克拉底并没有证明——圆面积之比等于其直径平方之比,因为它的证明需要用到后日由欧多克索斯所发明的穷竭法。

  希波克拉底认为倍立方问题可转化为——一线段与另一双倍长的线段之间求两个比例中项的问题。设xy能使

a : x = x : y = y : 2a

x² = ay, 

y² = 2ax。 

变为

y = x²/a

代入,得

(x²/a)² = 2ax

x³ = 2a³

x便是所要求的解答,但不能用尺规作出。

  在化圆为方问题上,诡辨派学者安提芬(Antiphon,公元前5世纪)和布赖森(Bryson,约公元前450年)提出了很重要的数学思想。安提芬用边数不断增加的内接多边形来接近圆,布赖森又用外切多边形来丰富这一思想。安提芬进一步提出把圆看作是无穷多边的正多边形

  正多边形向圆接近视频如下,代码附录1

 

附录1

import turtle as t
t.setup(600,600)
t.screensize(500,500)
t.title("外接正多边形向圆接近")
t.up()
t.setpos(200,0)
t.seth(90)
t.down()
for i in range(1, 10):
    t.circle(200, steps=i*3)
t.up()
t.ht()

 

参考资料:

《古今数学思想》【美】莫里斯·克莱因