如果用实验的方法，三大作图题是不难解决（近似）的，但诡辩学派偏偏企图用尺规作图来解决。这种抛弃感官能做的方法而采用理性推理方法，在柏拉图学派学者中得到了发扬光大——规定数学是一门演绎的学科。

　　继诡辩学派之后，主导数学学术活动的是著名的柏拉图学派。它的先驱是北非昔勒尼（Cyrene）的特奥多鲁斯（Theodorus，生于公元前470年左右）和意大利南部太兰吐姆的阿基塔斯。他们都是毕达哥拉斯派学者，并且都教过柏拉图。他们的教导可能使整个柏拉图学派受到毕达哥拉斯派的强烈影响。

　　特奥多鲁斯因证明我们现在记为√3，√5，√7，…，√17的这些量与1不可公度而闻名——拓展了不可公度比。阿基塔斯认为曲线是动点的轨迹、曲面是由曲线移动而产生——这种方法一直沿用到现在。阿基塔斯还用一种很复杂的几何方法，通过求出两已知量之间的两个比例中项（即两已知量是等比数列的第一和第四项，求出第二和第三项）来解决倍立方问题。阿基塔斯还写了有关数学力学的书，设计过机器，研究过声学，创造音阶并制定出一些有关的理论——多才多艺，堪比中国古代差不多时代的墨子。

　　柏拉图（Plato，Πλατών，公元前427年——公元前347年）是柏拉图学派的领袖，比较有名的成员有梅内克缪斯（Menaechmus，公元前4世纪）和他的兄弟狄诺斯特拉德斯（Dinostratus），以及特埃特图斯（Theaetetus，公元前约415——约前369）。

　　柏拉图出生于名门，早年就有政治抱负。但苏格拉底的命运（由于引入“至善真神”，反对奴隶主民主制而被判毒死。他的“至善真神”就是一代又一代科学家心中的上帝。）使他深信追求真善美的人不能搞政治。他曾游历埃及，游学于意大利南部，与众多毕达哥拉斯派学者交流学习。

　　公元前387年左右他在雅典成立学院，学院有固定的场地和教室，柏拉图及其助手给学生讲授的正式课程——与现代的大学非常相似。数学和哲学是学生们喜爱的学科。数学的主要活动中心虽在公元前300年左右移到亚历山大，但在整个亚历山大时代学院派仍旧领导哲学界。学院维持了九百年之久，直到529年，信奉基督教的罗马王查士丁尼（Justinian），认为它传授的哲学是“异端邪说”，被查封了。

　　柏拉图是他那时代最有学问的人，虽然他不是数学家，但他热心于这门科学，并深信它对哲学和了解宇宙有重要的作用，这鼓励着数学家们钻研数学。以至于，公元前4世纪时几乎所有重要的数学研究成果都是柏拉图的朋友或学生的。柏拉图本人趋于改进已有的数学知识使其更完美。

　　虽然我们无法知道在柏拉图之前数学概念是否已经完全抽象化，但柏拉图和他的后继者无疑是把数学概念看作抽象物的了。柏拉图认为数和几何概念不含物质性，因而和具体事物不相同。数学概念不依赖于经验而自有其实在性——数学概念抽象化。它们只能为人所发现，并非为人所发明或塑造。柏拉图这种区分抽象事物和物质对象的思想可能源自苏格拉底。

　　柏拉图对几何概念的论断甚为精辟。他认为，虽继我们继续使用可见的形象来推理几何问题，但我们心里想的并不是这些东西，而是类似于这些东西的理想形象——只有打开心灵之目才能看到事物的本质。这与《道德经》所云“道可道，非常道；名可名，非常名。”如此相似啊！

　　柏拉图及其学派的学者非常重视抽象观念，并把数学思想当作进入哲学殿堂的阶梯。数学家所处理的抽象观念与其他的抽象观念，比如善良和公正，是同一类的哲学观念，从而都是柏拉图哲学的研究对象。数学是为认识“理想世界”而准备的工具。

　　虽然我们不知道希腊人为什么喜好并强调数学概念的抽象化，但早期希腊数学家都是哲学家，他们喜欢研究观念，并在许多领域里表现出他们注重于抽象的典型作风，而哲学家普遍对数学产生决定性的作用。晚期毕达哥拉斯派学者和柏拉图派学者把观念世界和实物世界严格区别开来。物质世界中的关系是会变的，因而并不代表终极真理，但“理想世界”中的关系是不变的，因而是绝对真理。绝对真理才是哲学家应该关心的。

　　之所以我们认为柏拉图学派是数学演绎结构的主要贡献者，是因为普罗克洛斯和第欧根尼（Diogenes Laertius，3世纪）把下面两类方法论归功于柏拉图学派。第一类是分析方法：把待证的命题作为已知，由此推导出一些结论，直到得出一个已知的真理或得到矛盾。若得出矛盾，则待证的结论谬误。若得出一个已知真理，如果能把推理步骤倒过来就作出证明。第二类是归谬法或间接法：把待证的命题的反命题作为已知，由此推导出一些结论，直到得出一个矛盾。有人把间接法归功于希波克拉底。

　　根据柏拉图《理想国》中的有关陈述，说明了当时几何证明的现状，演绎方法得以确立，但公理基础却还存在一定的随意性，或者说可能随不同的数学家而稍有不同。

　　柏拉图深知知识有加以演绎整理的必要。科学的任务是发现自然界的本质规律，并把它在演绎系统里表述出来。柏拉图是第一个把严密推理法则加以系统化的人，而且大家认为他的门人按逻辑次序整理了定理。从柏拉图时代起，数学定理都要求根据一些公理作出演绎证明。为了坚持这种形式的证明，希腊人把此前几千年来数学里的所有法则、步骤和事实全部抛弃。

　　既然归纳、观察和实验一直是获得知识的重要来源，并且被各门科学普遍用得很好，那为什么希腊人喜欢在数学里用演绎推理而排斥其他一切方法呢？从希腊人（有哲学思想的几何学家）对哲学、逻辑和理论科学所作出的巨大贡献可知他们是多么热衷于推理和设想的。另外，哲学家一般只关心获得真理，而归纳、实验以及根据经验作出的一般结论只能给出可能正确的知识，相反，演绎法在前提正确的条件下则给出绝对肯定的结果。在古希腊社会中，数学是哲学家所追求的真理总体的一部分，因而认为必须是演绎性的。

　　希腊人喜欢演绎法的另一个原因可能是由于古希腊时期享受教育的阶级轻视实际事务。雅典虽是商业中心，但从事商业和医药之类行业的是奴隶阶级。柏拉图坚决主张自由民做买卖应看作是犯罪而要受到惩罚，亚里士多德也说在完善的国家里公民（相对于奴隶而言）不应该从事任何机械行业，对于这种社会里的思想家，实验和观察是不可能得到重视的。因此科学或数学上的结果都不会从这种来源得出。古希腊时代的实验科学和机械科学发展得那么差劲——最终导致被罗马所灭。历史如此相像，“清谈”之风盛的南朝最终也是被北方所灭。

　　不管历史的研究有没有把希腊人偏爱演绎推理的有关因素全部找出来，我们也能肯定他们是最早坚持——数学里必须用演绎推理作为求证的唯一方法。自此以后，这便成为数学所特有的要求，并使数学区别于所有别的知识领域或研究领域——数学成为一个独一无二的真正的学科诞生了。

　　就数学内容而论，柏拉图和他的学派改进了平面几何的定义，并（据说）也证明了一些新定理。此外，他们推动了对立体几何的研究。柏拉图认为，由于天文学是研究运动着的立体的，故在研究天文学之前需要懂得立体的科学。柏拉图和他的门生们着手研究立体几何，并（据说）证明了一些新的定理。他们研究了棱柱、棱锥、圆柱和圆锥；而且他们知道正多面体最多只有五种。他们可以用4，8，20个等边三角形作出其中的三种正多面体，用6个正方形做成立方体，并用12个正五边形做成正十二面体。至于正多面体不能多于五种，则可能是由特埃特图斯所证明的。

　　柏拉图派的最重要的数学发现是圆锥曲线，因为亚历山大时代的埃拉托斯特尼把这个发现归功于梅内克缪斯（柏拉图派）。梅内克缪斯是几何学家兼天文学家，他是欧多克索斯（下一课讲到）的学生，但系柏拉图学院中的一员。我们推测，他是在解那三个著名的作图题时发现圆锥曲线的。前面已经讲过用两个比例中项x和y解决倍立方问题,

a : x = x : y= y : 2a。

可以拆分为3条比例式

a : x = x : y，

x : y= y : 2a，

a : x = y : 2a。

转化为普通方程是

x² = ay，

y² = 2ax，

xy = 2a。

从解析几何的角度看，可知x和y就是两抛物线的交点或一抛物线和一双曲线的交点的坐标。梅内克缪斯研究了这问题，并得出两种纯粹用几何方法的解法。根据数学史家诺伊格鲍尔（Otto Neugebauer，1899——1990）的研究，圆锥曲线可能是在制作日规的工作过程中被发现的。

　　梅内克缪斯利用如下图

的三种圆锥——直角的、锐角的和钝角的圆锥，再用垂直于锥面一母线的平面来割每个锥面得到抛物线、椭圆和双曲线的一个支（当时他们不知道还有另一分支）。

　　柏拉图学派的特埃特图斯用几何方法对不可公度量进行了研究，在已证明√3，√5，√7和其他一些平方根是不可公度量的基础上，推广到更多可以作为长度画出的不可公度量。另一柏拉图派学者狄诺斯特拉德斯研究出怎样用希比亚斯的割圆曲线来化圆为方。

参考资料：

《古今数学思想》【美】莫里斯·克莱因