柏拉图学派规定了数学是演绎的学科，从而使数学从别的科学中分离出来，标志着数学的诞生。在数集方面还限于整数和分数，但越来越多的无理数(不可公度比)被发现，使数学处于尴尬的境地。数学家欧多克索斯在这方面做了一些工作。

　　公元前408年左右，欧多克索斯生于小亚细亚的尼多斯（Cnidos），曾在太兰吐姆求学于阿基塔斯，去埃及游历过，在那里学了些天文知识，然后在小亚细亚北部的基齐库斯成立了一个学派。公元前368年左右，他和他的门徒加入柏拉图学派。几年之后，他回到尼多斯，直到公元前355年左右于该地逝世。他是一位天文学家、医生、几何学家、立法家和地理学家。他最出名的工作是创立了天体运动的第一个天文学说。

　　他在数学上的第一个大贡献是关于比例的新理论。古希腊数学家头上的一把剑——无理数(不可公度比)确实是数吗？它们出现于几何论证过程中，而整数和整数之比则既出现于几何也出现于一般的数量研究中。此外，用于可公度的长度、面积和体积的几何证明，怎样才能推广用之于不可公度的这些量呢？

　　欧多克索斯引入了“量”的概念。量不是数（整数和整数之比，下同），数是从一个跳到另一个，例如从1跳到2，而是代表诸如线段、角、面积、体积、时间这些能够连续变动的东西。在量概念之上，欧多克索斯定义了“比”——两个量之比，和“比例”——两个比相等的关系，把可公度比与不可公度比都包括在“比”之内。

　　欧多克索斯为了解决不可公度比这个数学危机，采用逃避的态度——把数和量割裂开来，不能用数表达不可公度比，比和比例的概念是同几何学分不开的。为了自圆其说，他连线段长度、角的大小以及其他的量和量的比，都避免给予数值。从这可以看出，欧多克索斯认为无理数（不可公度比）不是数。欧多克索斯的这个理论诚然给不可公度比提供了逻辑依据，从而使希腊数学家大大推进了几何学，但也产生了不好的后果——由于只有几何能处理不可公度比，而生硬地把数与几何截然分开。

　　欧多克索斯的量与量之比理论，把数学家赶到几何学家的队伍去了，以至于，此后两千年间几何学变成几乎是全部严密数学的基础。我们如今仍把x²读作x平方，把x³读作x立方，而不把它们读作x二次方或x三次方，就是古希腊人认为x²和x³这些量只有几何意义的历史见证。

　　欧多克索斯处理不可公度比（无理数）问题的办法，实际上把他以前希腊数学的重点颠倒了过来。早期毕达哥拉斯派肯定是重视数，把它当作基本概念的。欧多克索斯的老师，太兰吐姆的阿基塔斯也曾说过只有算术——而不是几何——能提供满意的证明。在欧多克索斯理论的影响下，古希腊数学家为了能用几何来处理不可公度比（无理数），不得不放弃了真正的代数研究——功过参半。常见的代数——解二次方程（例如，x²=2）出现不可公度比（无理数）时，又怎么办呢？当矩形的两边不可公度时，他们对于求矩形面积这样一个简单问题又怎么办呢？古希腊的数学家们拿出欧多克索斯的法宝——逃避，他们把大部分代数问题转化为几何问题，然后用几何方法解决。用几何来表示无理数和无理数的运算当然不符合实际应用的需求。例如，把√2·√3设想为矩形面积，在逻辑上可能足够令人满意，但若为了想买地板漆布而需要知道乘积究竟等于多少，那就不行了。

　　虽然古希腊数学家把最大的热情倾注于几何，但整数和整数之比仍然是他们认可的概念。在欧几里得《原本》中第七至九篇，虽然披着几何的外衣（用线段表示数），实际是用演绎法建立起来的纯数学——数论（整数性质论）。

　　至此，也许你会纳闷：古希腊人在科学工作中以及在商业和其他实务中需要用到数的时候怎么办呢？事实上，古希腊时代的科学仅仅是定性的。那个时期的知识分子只限于做哲学和科学工作，不从事商业和贸易。有教养的人不关心实际问题，例如，他们可以在几何学里考察所有的矩形而从不关心它们的实际大小。这样，他们就把数学思维同实际需要割裂开来，而且数学家也没有感到有去改进算术方法和代数方法的压力。不过，在亚历山大时期(约公元前300——约公元600），有文化的阶级与奴隶阶级之间的数学壁垒逐渐被冲破，有教养的人逐渐开始关心实际事务，数学的重点才逐渐转移到数量知识以及发展算术和代数。

　　现在言归正传，再来谈欧多克索斯的贡献。希腊人确定曲边形面积和曲面体体积的得力方法——现今称作穷竭法，也是欧多克索斯的杰作。穷竭法是微积分思想的起步阶段，但并没有用明确的极限理论。举几个例子，欧多克索斯用这方法证明两圆面积之比等于其半径平方之比，两球体积之比等于其半径立方之比，棱锥体积是同底同高棱柱体积的三分之一，以及圆锥体积是其相应的圆柱体积的三分之一。

　　从泰勒斯起的每个学派，都曾被某个权威说成是用演绎法整理过数学的，但大家公认欧多克索斯是以明确公理为依据的演绎整理者。人们在解方程或运算过程中不可避免地遇到不可公度比，欧多克索斯作为当时最大的数学家，自然想到要给这些比提供逻辑依据。他很可能因此认识到有必要列出公理，并逐一推出结果，以保证推理过程不致出错。处理不可公度比的数学需求，无疑又增强了古希腊数学家只凭演绎推理来作证明的决心。

　　因希腊人要寻求真理并决心用演绎证明，就有必要找出一些公理（无需证明的真理）。他们确实找出了一些他们认为真实并不言而喻的命题，但把公理接受下来作为无可置辩的真理的具体事情上却因人而异。他们因无法用演绎法来证明公理而感到非常不安，以至于几乎所有希腊学者都相信心灵能够直接感知真理。

　　柏拉图有一种前世追忆说（Theory of Anamnesis），认为灵魂在投生到世间以前能直接体验真理，只要追忆这种体验就能认识到几何公理是包括在这些真理之内的。这个与儒家思想的“人之初，性本善”如出一辙。

　　古希腊的学者们还是走火入魔了，认为人世间的经验是不必要的——否定经验，离神论不远了。公理本应该是大家都认为无需演绎证明的真理，实际上却带有一些随意性，只要在个别人的心里感到它是清楚而真实的就行。定理又是根据所选取的公理来演绎推理出来的，那么定理也不可避免带上随意性。也许亚里士多德有关于公理的高论，下一节再说。

参考资料：

《古今数学思想》【美】莫里斯·克莱因