亚里士多德（公元前384一前322）生于马其顿的一个城市史太其拉（Stageira）。他是柏拉图的学生和同事，相处二十年之久，并从公元前343年到前340年当亚历山大大帝的老师。公元前335年他成立了自己的学派——学园学派。学园里有个花园、一个课堂和一所艺神（Muses）的祭坛。

　　亚里士多德的著作涉及机械学(力学)、物理学、数学、逻辑、气象学、植物学、心理学、动物学、伦理学、文学、形而上学、经济学和其他许多领域。

他没有专门写一本关于数学的书，但在许多地方讨论过数学，并用数学说明他的一些观点。

　　他认为科学可分三类：理论性的、生产性的和实务性的。理论性科学是探求真理的，包括数学、物理学（光学和声学以及天文学）以及形而上学，其中数学是最精确的科学；生产性科学是各项工艺；而实务性科学，例如伦理学和政治学，则是为了匡正人的行为作风。在理论科学中，逻辑是其中各门科学的先行学科，而形而上学家则要讨论并解释数学家和自然哲学家（科学家）认为是不言而喻的东西，例如研究对象的存在性或真实性问题，以及公理的本性问题。

　　亚里士多德在数学上虽然建树不多（欧几里得《原本》中只有几个定理是他的），但他对数学的本质及其与客观世界的关系所发表的看法却影响很大。柏拉图相信有一个独立、永恒的观念世界，并认为它是在宇宙中真实存在的，而数学概念是这世界中的一部分东西；亚里土多德则不然，他把具体物质看成是更为可取的真实存在。不过他也有重视观念之处，例如，他认为客观对象有其一些普遍性的本质，诸如硬、软、重、轻、球状性、冷和暖。数及几何形状也是实物的属性；它们是通过抽象思维为人所认识的，但它们是从属于实物的。所以数学是研究抽象概念的，而抽象概念则来自实物的属性。

　　亚里士多德对“定义”的论述与现代哲学思想相符。他说“定义”只不过是用一些文字来定个名，并且依赖于已经定义了的事物来表述。他批评“点是没有部分的那种东西”这一定义，认为“那种东西”这几个字没有说出所指的究竟是什么（还没有定义），除非所指的可能就是“点”，因而这定义并不合适。他承认未经定义的名词是需要的，因为在一系列的定义里总得有个开头。

　　他又指出一个定义只能告诉我们一件事物是什么，并不说明它一定存在。定义了的东西是否存在有待于证明，除非是少数几个第一性的东西诸如点和直线，它们的存在性和公理一样事先被人们所接受。例如我们可以定义一个正方形，而这种图形可能不存在；就是说，定义中所要求的诸属性可能无法并存。莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）就举出过“正十面体”这样一个例子，我们可以定义这样一个图形，但它并不存在。如果有人并未意识到这图形不存在就着手去证明有关这图形的定理，那他得出的结论将是胡说一气。亚里士多德和欧几里得所采取的用以证明存在性的方法是构造法（Construction）。欧几里得《原本》中头三个公理承认直线和圆的构造，除此之外，所有其他数学概念则必须构造出来以证明其存在。例如角的三等分线虽可定义，但不能用直线和圆构造出来，所以在希腊几何学里没有与它有关的命题。

　　亚里士多德把公理和公设加以区分，认为公理是一切科学所公有的真理，而公设则只是为某一门科学所接受的第一性原理。他把逻辑原理（诸如矛盾律、排中律、等量加减等量后结果相等以及其他这类原理）都列为公理。公设是不言自明的，但其是否属真应受所推出结果的检验。所列出的一批公理或公设，数目应该愈少愈好，只要它们能用足够证明所有结论。虽然欧几里得也采用亚里士多德这种把公理和公设区别开来办法，但直到19世纪末为止的所有数学家都漠视这一区别，把公理和公设都当作是同样不言自明的。亚里士多德认为公理是从观察实物（物理对象）得出的。它们是被人们直接所理解的一般性认识。亚里士多德和他的门人给出了许多定义和公理，也许是改进了前人的成果。亚里士多德的有些定义和公理是被欧几里得在《原本》中所采纳。

　　亚里士多德探讨了怎样能把点同线联系起来这个基本问题。他认为点不可分，但占有位置。但那样的话，不论聚集起多少点来，还总是聚不成能分的东西，而线段则肯定是能分的量，因此点不能形成像线这类连续的东西，因为点与点不能自己连续在一起。他说一点好比是时间中的“此刻”（现在），此刻不可分，因而并非时间的一部分。一点可能是一线的末端、开端或其上的分界处，但它不能是线的一部分，也不成为量。一点只有通过运动才能产生一线从而成为量的本原。他又论证：因为点没有长度，所以若一线由点组成，它也将没有长度。同样，如果时间由瞬刻组成，那就没有整个的时段了。关于线所具有的连续性，他是这样定义的：如果一件东西的任何两个相继部分在其接触处的两个界限合而为一，这东西就是连续的。实际上亚里士多德讲过许多次关于连续量的话，讲法都不一致——在那个年代，他不可能清楚表述他心中所想。但，很明显，他主张的实质是：点和数（整数和整数比）是离散量，必须同几何上的连续量区别开来。在算术上没有连续集合。至于算术与几何的关系，他认为算术（即数论）是更准确的，因为数比几何概念更易于抽象化。他又认为算术要先行于几何，因为在考察三角形之前先需要有三这个数。

　　在讨论到无穷（大）这个概念的问题时，他提出要区别潜在的无穷（大）和真实的无穷（大）。这个观点在今日仍然有重要意义。地球如果有个突然的开始，那么它的年龄是潜在无穷(大)，但在任何一刻都不是真实无穷（大）。亚里士多德认为只存在潜在的无穷（大）。他承认正整数是潜在无穷的，因给出任何正整数加上1后总能得新正整数，但无穷集合这类集合是不存在的。其次，大多数的量甚至不能是潜在无穷的，因它们若不断增加，就会超出宇宙范围。但空间是潜在无穷的，因它能反复往下细分，而时间则在两个方向上都是潜在无穷的。

　　亚里士多德的一个重大贡献是创立逻辑学。希腊人在研究出正确的数学推理规律时就已奠定了逻辑的基础，但要等到有亚里士多德这样的学者才能把这些规律典范化和系统化，使之形成一门独立学科——数学演绎推理有了规范的标准。从亚里士多德的著作中，可以十分清楚地看出，他是从数学得出逻辑来的。他的基本逻辑原理——矛盾律，指出一个命题不能既是真的又是假的；排中律，指出一个命题必然是真的或者是假的——就是数学里间接证法的核心。亚里士多德用当时课本中的数学例子来说明他的推理原则。亚里士多德的逻辑一直到19世纪都无人能挑出它的毛病。

　　逻辑这门科学虽来自数学，但其后却被人们认为是独立于并且先行于数学的，而且能应用于一切推理过程。如前所述，甚至亚里士多德自己也认为逻辑先行于科学和哲学。在数学里他强调演绎证明，认为这是确定事实的唯一基础。

　　亚里士多德学派中的罗得斯的欧德摩斯也值得一提。此人生活于公元前4世纪后期，是为普罗克洛斯和辛普利修斯所引述过的那本书（《欧德摩斯的总结》）的作者。欧德摩斯写过算术、几何及天文学方面的历史。他是有案可查的第一位科学史家。不可否认，只有当一门科学在他那个时代的知识足够丰富广博，才值得为之写出历史。这足以证明希腊当时科学之兴旺。

　　最后，皮坦尼（Pitane）的奥托吕科斯（Autolycus)也值得一提，他是个天文学家兼几何学家，生活于公元前310年前后。虽然他曾教过柏拉图之后的一位学派领袖，但他不是柏拉图或亚里土多德学派的人。他所写的三本书中,有两本流传到今天，这是保存完整的最早的希腊书，尽管流传下来的只是奥托吕科斯原书的抄写手稿。这两本书的书名叫《论运动的球》( On the　Moving Sphere）和《论升和落》（On Risings and Settings），其后被人编入《小天文》（Little Astronomy）文集中【以区别于日后托勒玫的《大汇编》( Great Collection或Almagest)]。《论运动的球》中研究了球面上的子午圈、一般的大圆，以及我们现在称之为纬度线的圆，并论述一远处光源照到一旋转球上（如同太阳照射地球那样）时的受光区域与黑暗区域。书中内容需要一些球面几何的定理，由此可以知道这些定理必是当时希腊人已经知道的。奥托吕科斯的第二本书谈恒星的升和落，是关于观测天文学方面的著作。《论运动的球》那本书的组织形式很有意义，图上的点是用字母来代表的，命题按逻辑次序排列的，每个命题先作一般性的陈述，然后再重复，但重复陈述时明确参照附图，到最后给出证明——这是欧几里得《原本》中所采用的风格，也就是说奥托吕科斯开创了学术专著的内容组织形式。

参考资料：

《古今数学思想》【美】莫里斯·克莱因