欧几里得《几何原本》第一卷中的公理如下：

　　１、等于同量的量彼此相等。

　　２、等量加等量，其和仍相等。

　　３、等量减等量，其差仍相等。

　　４、彼此能重合的物体是全等的。

　　５、整体大于部分。

　　实际上，前三个公理是等式的性质；第四个公理是数学忽略物体的具体属性，只考虑形状是否相同；第五个是比较的基础。公理是无需任何论证，适用于所有领域的事实。公理是显而易见的，以至于古希腊柏拉图认为人天生就懂得这些公理，只要人用心灵去感受就可以明白。然而，亚里士多德认为，公理也来源于人的经验。公理心灵论和经验论两千多年来的争论都没有停止过。公理的来源已超出数学的研究范围（已是哲学的范畴），我们只要在潜意识了融入了这些公理，能把这些公理运用自如就行。

　　欧几里得《几何原本》第一卷中的公设如下：

　　1、由任意一点到另外任意一点可以画直线。

　　2、一条有限直线可以继续延长。

　　3、以任意点为心及任意的距离可以画圆。

　　4、凡直角都彼此相等。

　　5、同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。

　　第一条是“两点决定一直线”；第二条是“直线是无始无终”的；第三条是“圆心位置和半径决定一个圆。第五条与我们现在的平行公理等价。公设是为了建立某一领域的知识体系，提出的一些必要的假设。公设一般是不能被证明的，它的正确性来源于通过它们能推导出正确的结论。

　　欧几里得之后，实际上就没有人区分公理和公设了。我想是由于欧几里得《几何原本》写得太好，证明非常严谨，也没有发现公设有什么问题，于是，大家就把公设，当作几何领域的”公理”了。

　　前面，我们学过一些对某一件事情作出判断的语句，例如：

　　（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

　　（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；

　　（3）对顶角相等；

　　（4）等式两边加同一个数，结果仍是等式。

　　像这样判断一件事情的语句，叫做命题（proposition）。命题由题设和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

　　数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。例如，上面命题（1）中，“两条直线都与第三条直线平行”是题设，“这两条直线也互相平行”是结论。

　　有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，从而将它们写成“如果……那么……”的形式。例如，命题“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。

【课堂练习】

　　1.　请你将命题（2）（4）改写成“如果……那么……”的形式。

　　上面所举出的命题都是正确的。就是说，如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。还有一些命题，如“如果两个角互补，那么它们是邻补角”“如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除”等，这些命题中题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。

【课堂练习】

１.　指出下列命题的题设和结论：

　　（1）如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°；

　　（2）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3。

　　（3）两直线平行，同位角相等。

2.　举出学过的2~3个真命题。

　　在前面，我们学过的一些图形的性质，都是真命题。其中有些命题是基本事实（公理或公设），如“两点确定一条直线”“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等。还有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”等，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理（theorem）。定理也可以作为继续推理的依据。

　　在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明（proof）。下面，我们以证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来说明什么是证明。

　　例　如下图，

已知直线b//c，a⊥b。求证a⊥c。

　　证明：∵　a⊥b（已知），

　　∴　∠1=90°（垂直的定义）。

　　又b//c（已知），

　　∴　∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）。

　　∴　∠2=∠1=90°（等量代换）。

　　∴　a⊥c（垂直的定义）。

　　证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实（公理或公设）、定理等。

　　判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了。

　　例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例：下图

中，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角。

【练习】

１．在下面的括号内，填上推理的根据。

　　如下图，

　　∠A+∠B=180°，求证∠C+∠D=180°。

　　证明：∵　∠A+∠B=180°，

　　∴　AD//BC（__________________________________）。

　　∴　∠C+∠D=180°（__________________________________）。

2．命题“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例。

参考资料：

１、《几何原本》【古希腊】欧几里得　著　兰纪正　朱恩宽　译

２、《古今数学思想》【美】莫里斯·克莱因　著　张理京　张锦炎　江泽涵　译