我们学习了平行线的三个性质与三个判断方法，你把这两个知识点联系起来会有所发现的。我们把平行线的性质和判定方法都用“如果......那么......”的命题模式描述列表如下：

可见平行线的性质和判定方法的题设结论正好相反。我们把像这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另个叫做它的逆命题。

一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立。如平行线的三个性质与三个判断方法都是成立的；但如命题“对顶角相等”成立，而它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立。

如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。可以认为，平行线的三个性质与平行线的三个判定方法互为逆定理。

其实捣鼓这些概念没有多大的意义，从逻辑上讲，题设是条件，结论是结果，那么命题就是根据一定条件而达到的结果。如果一个命题为真，那么相对与结果来说，这个条件是充分的，是充分条件，例如，对顶角是两个角相等的充分条件。如果一个命题的条件不具备，那么一定不能产生这个结果，那么对于结果来说这个条件是必要条件，例如，两个角相等是对顶角的必要条件，因为如果两个角不相等，那么它们不可能是对顶角。如果有这个条件就一定有这个结果，而且没有这样的条件就一定没有这样的结果，那么对于结果来说，这个条件是充要条件，即既是充分条件，也是必要条件。

一般地，一个命题是真命题，那么题设（条件）是结论（结果）的充分条件，而结论是题设的必要条件，所以定理的逆命题就不一定成立了。如果逆命题也成了，就说明原定理的结论也是题设的充分条件，这样就得到原定理的结论是题设的充要条件；同样，原定理的题设也是结论的充要条件。

因此，不重合的两直线平行是同位角相等的充要条件；也是内错角相等的充要条件；也是同旁内角互补的充要条件。

人们认识事物和判断事物都是交错在一起的，对于平行线也是如此。首先，我们对平行线只是一个模糊的概念，然后对它进行研究，得出了平行线的三大性质，把三大性质的逆命题作为判定平行线的方法。由于命题的结论只是题设的必要条件，所以要进行论证真实性。平行线的概念就更加清晰了。课本先排平行线的判定方法可能不太恰当，本系列把调换了先后顺序，也是基于这方面的考虑。

【习题】
【复习巩固】
 1.　如下图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁DE，使DE//BC。如果∠ABC=31°，∠ADE=________°。

2.　如下图，

一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=120°，∠BCD=60°，这时说管道AB//CD对吗？为什么？

3.　如下图，

这是两条道路互相垂直的交叉路口，你能画出它的平面示意图吗？类似地，你能画出两条道路成75°角的交叉路口的示意图吗？

4.   如下图，

直线a，b，c被直线l所截，量得∠1=∠2=∠3。

（1）从∠1=∠2可以得出哪两条直线平行？根据是什么？

（2）从∠1=∠3可以得出哪两条直线平行？根据是什么？

（3）直线a，b，c互相平行吗？根据是什么？

5.　如下图，

有一块方形玻璃，用什么方法可以检验它相对的两条边是否平行?

第6　根据下图

中，所给出的条件，找出互相平行的直线和互相垂直的直线。

7.　如下图，

一条公路两次转弯后，和原来的方向相同如果第一次的拐角∠A是135°，第二次的拐角∠B=_________°，原因是__________________________________________。

8.　如下图，

在四边形ABCD中，如果AD//BC，∠A=60°，∠B=_________°，∠D=_________°。

9.　如下图，

平行线AB，CD被直线AE所截。

（1）如∠1=110°，则∠2=________°，原因是______________________________________。
（2）如∠1=110°，则∠3=________°，原因是______________________________________。（3）如∠1=110°，则∠4=________°，原因是______________________________________。 10.　如下图，

a//b，c，d是截线，∠1=80°，∠5=70°。（1）∠2=______°，原因是_______________________________________。（2）∠3=______°，原因是_______________________________________。（3）∠4=______°，原因是_______________________________________。11.　如下图，

一条公路的两侧铺设了两条平行管道，如果公路一侧铺设的管道与纵向连通管道的角度为120°，那么，为了使管道对接，另一侧应以________°角度铺设纵向连通管道，依据是__________________________________________________。12.　在下面的括号内，填上推理的根据。

如下图，

AB和CD相交于点O，∠A=∠B.求证∠C=∠D.

证明：∵  ∠A=∠B，

∴  AC//BD  (___________________________________________________).

∴  ∠C=∠D  (___________________________________________________).

【综合运用】

13.　如下图，

E是AB上一点，F是DC上一点，G是BC延长线上一点。

（1）  如果∠B=∠DCG，可以判断哪两条直线平行？为什么？

（2） 如果∠D=∠DCG，可以判断哪两条直线平行？为什么？

（3） 如果∠D+∠DFE=180°，可以判断哪两条直线平行？为什么？

14.  如下图，

这些图案中有一些平行条纹，请你设计一些含有平行条纹的图案。

15.  借助直尺、三角尺和量角器，在下图

中找出互相平行的直线和互相垂直的直线。

16.  如下图，

为了说明示意图中的平安大街与长安街是互相平行的，在地图上量得∠1=90°,你能通过度量图中已标出的其他的角来验证这个结论吗？说出你的理由。

17.  选择题.

(1)如下图，

由AB//CD，可以得到(       )。

(A)∠1=∠2    (B)∠2=∠3    (C)∠1=∠4    (D)∠3=∠4

(2)如下图，

如果AB//CD//EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=（          ）。

(A) 180°    (B)270°    (C)360°    (D)540°

18.  光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时,要发生折射。由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的。如下图，

∠1=45°，∠2=122°，则∠3=______°，∠4=______°，∠5=______°，∠6=______°.

19.  如下图，

用式子表示下列句子：

(1)因为∠1和∠2相等，根据“内错角相等，两直线平行”，所以AB和EF平；

(2)因为DE和BC平行，根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠1=∠B，∠3=∠C。

20.  如下图，

这是一个国际象棋棋盘的示意图，它共有8行8列，仿照它在白纸上画出一张国际象棋的棋盘纸。类似地，搜索中国象棋的棋盘的图片，也在白纸上画一张。会海龟画图的用海龟画图来画。

21.  操场中的相交线与平行线。

(1)  举出操场中一些相交线、垂线、平行线的例子；

(2)  如果要你画出一个篮球场地，你怎样做才能保证相应的线垂直或平行呢？不妨在纸上试一试。会海龟画图的用海龟画图来画。

22.  判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例。

(1)两个锐角的和是锐角；

(2)邻补角是互补的角；

(3)同旁内角互补。

23.  完成下面的证明。

(1)如下图，

AB//CD，CB//DE. 求证∠B+∠D=180°.

证明：∵  AB//CD，
∴  ∠B=_________( _________________________________________).∵  CB//DE，∴ ∠C+∠D=180°(____________________________________________________).∴∠B+∠D=180°.

(2)如下图，

∠ABC=∠A‘B'C’，BD，B'D'分别是∠ABC，∠A'B'C'的平分线. 求证∠1=∠2.

证明：∵  BD，B'D'分别是∠ABC，∠ABC的平分线，∴  ∠1=(1/2)∠ABC，∠2=__________(__________________________________).又  ∠ABC=∠A'B'C'，∴  (1/2)∠ABC=(1/2)∠A'B'C'.∴  ∠1=∠2 (____________________________________________).

【拓广探索】

24.  观察下图

所示的长方体，用符号表示下列两棱的位置关系：A1B1____AB，AA1____AB，A1D1____C1D1， AD_____BC. 在你的房间里找到这些位置关系的线。

25.  如下图，

当∠1=∠3时，直线a，b平行吗？当∠2+∠3=180°时，直线a、b平行吗？为什么？

26.  如下图，

直线DE经过点A，DE//BC，∠B=44°，∠C=57°.

(1)  ∠DAB等于多少度？为什么？

(2)  ∠EAC等于多少度？为什么？

(3)  ∠BAC等于多少度？

（通过这道题，你能说明为什么三角形的内角和是180°吗？)

27.  如下图，

潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的,光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，∠2和∠3有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？(提示分析这两条光线被哪条直线所截.)