在计算机上用《几何画板》软件任意画一个三角形,量出它的各内角并计算它们的和,然后随意改变所画三角形的形状,再量出变化后的各内角,计算内角和。由此你能得出什么结论?请看下面视频。
从上面的视频,我们进一步引证了在小学通过度量或剪拼得出的结论——任意一个三角形的内角和等于180°。
通过度量(包括上面视频的方法)或剪拼的方法,可以验证三角形的内角和等于180°。但是,由于测量常常有误差,软件计算也受到精确的的限制,这种“验证”不是“数学证明”,不能完全让人信服;又由于形状不同的三角形有无数个,我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°。所以,需要通过推理的方法去证明:任意一个三角形的内角和一定等于180°。
【探究】
在纸上任意画一个三角形,将它的内角剪下拼合在一起,就得到一个平角。从这个操作过程中,你能发现证明的思路吗?
上面的拼合中,有不同的方法。你用了下图中的哪种方法?
在图(1)中,∠B和∠C分别拼在∠A的左右,三个角合起来形成一个平角,出现一条过点A的直线l,移动后的∠B和∠C各有一条边在直线l上。想一想,直线l与△ABC的边BC有什么关系?由这个图你能想出证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗?
由上述拼合过程得到启发,过△ABC的顶点A作直线l平行于△ABC的边BC(如下图),
那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论。
已知:△ABC(上图)
求证:∠A+∠B+C=180°。
证明:如上图,过点A作直线l,使l//BC。
∵ l//BC,
∴ ∠2=∠4 (两直线平行,内错角相等)。
同理∠3=∠5。
∵ ∠1,∠4,∠5组成平角,
∴ ∠1+∠4+∠5=180° (平角定义)。
∴ ∠1+∠2+∠3=180° (等量代换)。
以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°,得到如下定理:
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。
【课堂练习】
如果用第二种拼法而受启发,给出证明。
例1 如下图,
在△ABC中,∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分线。求∠ADB的度数。
解:由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分线,得
∠BAD=(1/2)∠BAC=20°。
在△ABD中,
∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°。
例 2 下图
是A,B,C三岛的平面图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向。从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度?从C岛看A,B两岛的视角∠ACB呢?
分析:A,B,C三岛的连线构成△ABC,所求的∠ACB是△ABC的一个内角。如果能求出∠CAB,∠ABC,就能求出∠ACB。
解: ∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°。
由AD//BE,得
∠BAD+∠ABE=180°
所以
∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,
∠ABC=∠ABE-∠EBC=100-40°=60°。
在△ABC中,
∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°。
答:从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°。
下面用进行另一种方法解答。
解2:如下图,
延长AB到B',由AD//BE,得
∠EBB'=∠DAB=80°,
所以
∠ABC=180°-∠EBB'-∠EBC=180°-80°-40°=60°。
∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°。
在△ABC中,
∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°。
答:从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°。
【练习】
1. 如下图,
从A处观测C处的仰角∠CAD=30°,从B处观测C处的仰角∠CBD=45°。从C处观测A,B两处的视角∠ACB是多少度?
2. 如下图,
一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD,其中∠A=150°,∠B=∠D=40°。求∠C的度数。
如下图,
在直角三角形ABC中,∠C=90°,由三角形内角和定理,得
∠A+∠B+∠C=180°,
即
∠A+∠B+90°=180°,
所以
∠A+∠B=90°。
三角形内角和在直角三角形中的形式——直角三角形的两个锐角互余。
直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角角形ABC可以写成Rt△ABC。
例 3 如下图,
∠C=∠D=90°,AD,BC相交于点E。∠CAE与∠DBE有什么关系?为什么?
解: 在Rt△ACE中,
∠CAE=90°-∠AEC。
在Rt△BDE中,
∠DBE=90°-∠BED。
∵ ∠AEC=∠BED,
∴ ∠CAE=∠DBE。
【思考】
我们知道,如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形有两个角互余。它的逆命题是,如果三角形有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形,成立吗?请你说说理由。
由于三角形内角和是一个平角,而其中有两角互补,即和是直角,那么剩下的一个角也一定是直角,所以这个三角形一定是直角三角形。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
【练习】
1. 如下图,
∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D。∠ACD与∠B有什么关系?为什么?
2. 如下图,
∠C=90°,∠1=∠2,△ADE是直角三角形吗?为什么?