下图△A1BC和△A2BC在两条平行线之间，底边相同，高相等，所以这两个三角形的面积相等，我们把面积相等的图形称作两个图形相等。由于“相等”已被占用，只能用“全等”了。

　　三角形有三条边和三个角，但用直尺和圆规作三角形时，并不需要都知道三条边和三个角。

　　三条边都知道长度（假如是4cm、5cm和7cm），能否作出三角形呢？

　　先画一边，例如5cm，那另外一个顶点一定在以这条线段的2个端点为圆心，半径分别为4cm和7cm的圆的交点，连接其中一侧的交点与线段的两个端点就把三角形画出来了。下面使用《五行星Python几何画板》作图的视频。

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　　由上面的视频可知，只考虑BC底边的上侧，上面的方法只画出了一个三角形。那么还能在BC同侧画出第二个三边一样三角形吗？

　　如下图，A'和A"都在圆B上，所以到B的距离都是4；但A'在圆C的外面，所以到C的距离就大于7了；A"在圆C的里面，所以到C的距离就小于7了；也就是说，A'和A"都是不可能的。充分说明了三边唯一确定一个三角形。

　　既然三边唯一确定一个三角形，那么：三边分别相等的两个三角形全等。这就是全等三角形的第一个判定标准，简写成“边边边”或“SSS”（S是英文单词side的首字母）。

　　如果只知道两边，情况会怎样呢？请看下图。

　　可见，只已知两边，有无数个三角形，苟其原因，就是这两边的夹角∠ABC不一样引起的，所以只要固定这个角的值，三角形就唯一确定了。因此得到三角形全等的第二个判定标准：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”（A是angle的首字符）。

　　如果知道的不是这两边的夹角，而是另外两个角中的一个，还能唯一确定一个三角形吗？假设这两边是不相等的。

　　如下图，短边的另外一个角确定的话，貌似只能画出一个三角形。

　　但如果是长边的另外一个顶角，如下图，至少可以画2个三角形。

　　所以，如果不是两边的夹角，而是另外一个顶角相等，是不能保证全等的。

　　还有没有画一个确定三角形的方法呢？自然会想到一条边和它两端点的角。下面以边长10，两端点的内角是67°和45°作图。先画这条边，然后以这条边的两端点分别以两个夹角为旋转角的射线，这两条射线必有一个交点，这个交点就是三角形的另外一个顶点。使用《五行星Python几何画板》作图的视频如下。

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　　由于两条直线相交，只有一个交点，所以两角与它们的夹边也唯一确定一个三角形。这样得到了三角形全等的第三个判定标准：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。

　　如果不是夹边，是另外一边情况会怎样呢？同样的方法，符合这条件能否画出多于1个的三角形，如果至少有一个例外，这命题就不成了。

　　下图△ODC和△ODE有公共边OD，角平分线把角分为相等的两个角，直角也相等，这两个三角形形状一样，但大小不一样，当然就不全等了。

　　为什么两个三角形的大小不一样呢？从上图中可以看到相等边的对角不相等（一个是直角，一个是锐角）。那么如果相等边的对角相等会怎样呢？

　　如下图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，求证△ABC≌△DEF。

　　分析：相等边的对角相等，由于三角行内角和是180°，这条边的另外一个端点的顶角也必然与对应的顶角相等，就转化为角边角类型，当然就是全等了。

　　证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，

　　∵　∠C=180°-∠A-∠B。

　　同理　∠F=180°-∠D一∠E。

　　又　∠A=∠D，∠B=∠E，

　　∴　∠C=∠F。

　　在△ABC和△DEF中，

　　　　∠B=∠E，

　　　　BC=EF，

　　　　∠C=∠F，

　　∴　△ABC≌△DEF。　（ASA）

　　因此，我们可以得到下面的推论：

　　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“AAS”。注意：这里的边是一对相等角的对边。

　　也就是说，三角形的两个角的大小和其中一个角的对边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就确定了。

　　三角形的唯一确定性与三角形的全等标准是完全相同的东西，只是应用的方向不一样而已。

　　总体来说，三角形有3条边和3个内角，由于三个角之和是一个平角，所以三个角只能算二个自由度（可以在一定范围内任意变化）；三条边在满足两边之和大于第三边的范围内任意变化，所以三条边是三个自由度。

　　这样三角形貌似有五个自由度，很明显这是不对的，因为三边能确定一个三角形。因此，我们完全有理由认为三角形的内角是因变量，三角形只有三个自由度——三条边，直接或间接确定三角形的三条边，一个三角形就确定了。

　　“边边边”或“SSS”就是直接确定三角形的三边，所以一个三角形就确定了，也就是全等的第一个标准。

　　三角形除了内角和是一个平角、两边和大于第三边的性质外，还有一个重要的性质：大角对大边，大边对大角；小角对小边，小边对小角；等角对等边。因此，可以用一对等边的对角来代替这一对边作为一个自由度，就是“边角边”或“SAS”全等三角形判定标准了。

　　继续用另外一对等边的对角代替另一对边作为一个自由度，就是“角边角”或“ASA”全等三角形判定标准了。

　　另外，如果一对边和它们对应的角分别相等，还有另外一对角相等相等，能否确定一个三角形内？因为三角形内角和是一平角的原因，第三对角也相等，问题就转化为“角边角”了。这就是“角角边"或“AAS”全等三角形判定标准了。

　　总之，唯一确定三角形或全等三角形的判定标准，最终可以回归三角形的三对边分别相等这个根本的要求。

　　例题１：工人师傅常用角尺平分一个任意角。做法如下图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分划取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合。过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，为什么？

　　分析：如果∠AOC=∠NOC，那么射线OC是∠AOB的平分线，问题就转化为要证明∠AOC=∠NOC。显然这两个角分别处于两个不同的三角形中，如果能证明这两个三角形全等，由于这两个角是一对等边的对角，那么这两个角必然相等。问题转化为求证全等三角形，我们知道求证全等三角形有三个标准和一条推论，上面的情况OC是公共边相等，其它两对边也规定相等，因此这两个三角形符合“边边边”（SSS)全等条件，得证。实际证明过程与分析过程方向相反就行。

　　证明：在△MOC和△NOC中，

　　∵　MO = NO，

　　　  MC = NC，

　　OC是公共边，也相等，

　　∴　△MOC≌△NOC。（SSS）

　　∵　MC = NC，

　　　∠MOC是MC的对角，

　　　∠NOC是NC的对角，

　　∴　∠MOC=∠NOC，

　　射线OC是∠AOB的平分线。

　　例题２：如下图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证∠A=∠D。

　　分析：由BE=CF，得BF=EC，那么∠A和∠D是△ABF和△DEC一对相等边的对角，如果这两个三角形全等，那么这两个角必要相等，问题转化为求证△ABF≌△DEC；另外，AB=DC，AB和BF的夹角∠B=DC和CE的夹角∠C，符合边角边（SAS）全等标准，问题得证。

　　证明：∵　BE=CF，

　　∴　BF = CE。

　　在△ABF和△DEC中，

　　∵　BF = CE，

　　　　AB＝DC，

　　　　∠B=∠C，

　　∴　△ABF≌△DEC。（SAS）

　　∵　BF = CE，

　　　　∠A是BF的对角，∠D是CE的对角，

　　∴　∠A＝∠D。

　　例题３：如下图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长。为什么？

　　分析：由于∠ACB和∠ECD是对顶角，相等，AB和ED是△ABC和△EDC上这对对顶角的对边，如果能证明△ABC与△EDC全等，就可以断定AB=ED。由于∠B和∠D都是直角，相等，BC=CD，就符合角边角（ASA）标准，得证。

　　证明：在△ABC和△EDC中，

　　∵　∠ABC = ∠EDC，  （直角相等）

　　　BC=CD，

　　　∠ACB=∠ECD，

　　∴　△ABC≌△EDC。（ASA）

　　∵　∠ACB=∠ECD，

　　　　AB是∠ACB对边，

　　　　ED是∠ECD对边，

　　∴　AB=ED。

　　例题４：如下图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2。求证AB=AD。

　　分析：由于∠B和∠D是直角，相等，∠1=∠2，所以∠BCA=∠DCA，那么AB和AD是一对等角的对边，只要证明△ABC≌△ADC就行。由于公共边AC都是直角的对边，因此符合角角边（AAS）标准，问题得证。

　　证明：在△ABC和△ADC中，

　　∵　∠B = ∠D，（直角相等）

　　　　∠B 和 ∠D 的对边是公共边AC，相等，

　　　　∠1=∠2，

　　∴　△ABC≌△ADC。（AAS）

　　∵　∠1=∠2，

　　　　∠B = ∠D，

　　　　∠1＋∠B＋∠ACB = ∠2＋∠D＋∠ACD＝180°

　　∴　∠ACB = ∠ACD，

　　　　AB是∠ACB对边，

　　　　AD是∠ACD对边，

　　　　AB=AD。（全等三角形中等角对边相等）

　　我们知道，两条边和一个不是这两边夹角的角分别相等，不能保证三角形全等，那么如果这个角是直角情况会怎样呢？

　　假如已知斜边AB和直角边BC，那么先画线段BC，在C点画上BC的垂线，然后以B点为圆心，AB为半径画圆，在BC的一侧只有一个交点，这个交点便是A顶点，如下图所示。

　　也就是说，已知直角三角形的斜边与一条直角边，这个直角三角形就唯一确定了。这个可以用于直角三角形的全等判定标准。

　　斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。H是斜边(Hypotenuse)的首字母，L是直角边(leg)的首字母。

　　与普通三角形的“边角边”合并，得到：两条边分别相等（如果是斜边，两斜边相等）的两个直角三角形全等。

　　例题５：如下图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF。求证AE=DF。

　　分析：由于AE和DF是直角三角形的一条直角边，如果这两个直角三角形的斜边和另外一个直角边相等，则这两个直角三角形全等，已知CD=AB，又由CE=BF，得CF=BE，得证。

　　证明：∵　CE=BF，

　　　　CE-FE = BF-FE，（等式两边减等量，等式不变）

　　∴　CF=BE。

　　在Rt△CDF和Rt△ BAE中，

　　∵　斜边CD=BA，

　　　　CF=BE，

　　∴　Rt△CDF≌Rt△ BAE。（HL）

　　∴　AE=DF。