如下图中，
点A，A'是对称点，设AA'交对称轴MN于点P，将△ABC或△A'B'C'沿MN折叠后，点A与A'重合。于是有
AP=PA'，∠MPA=∠MPA'=90°（等角和等于一平角）。
对于其他的对应点，如点B与B'，点C与C'也有类似的情况。因此，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(perpendicular bisec-to)。这样，我们就得到图形袖对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。如下图中，
l垂直平分AA'，l垂直平分BB'。
练习题１：
１、如下图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴。
２、如下图所示的每福图形中的两个国案是轴对称的吗？如果是，指出它们的对称轴并找出一对对称点。
线段的垂直平分线的性质
下面用《几何画板》演示垂直平分线上的点到线段两端点的距离视频。
，时长00:20
可以发现，垂直平分线上的点A到线段端点B，C的距离在变化中保持相等。由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
利用判定两个三角形全等的方法，可以证明这个性质。
如下图，
直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上，求证PA=PB。
证明：∵ l⊥AB，
∴ ∠PCA=∠PCB，
又 AC=CB，PC=PC，
∴ △PCA≌△PCB (SAS)。
∴ PA＝PB。
反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
证明：在△PCA和△PCB中
∵ PA=PB，
又 AC=CB，PC=PC，
∴ △PCA≌△PCB (SSS)。
∴ ∠PCA=∠PCB，
又 ∠PCA+∠PCB=180°，
∴ PC⊥AB，即P点在垂直平分线上。
通过上面的证明可以得到：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
从上面两个结论可以看出：在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线l可以看成与两点A,B的距离相等的所有点的集合。
例１ 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线。
已知：直线AB和AB外一点C（如下图）。
求作：AB的垂线，使它经过点C。
作法：
(1)任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁。
(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E。
(3)分别以点D和点E为圆心，大于½DE的长为半径作弧，两弧相交于点F。
(4)作直线CF。
直线CF就是所求作的垂线。
下面用《五行星Python几何画板》制作的演示视频。脚本代码附录１。
，时长00:18
分析：如下图，
连接CD，CE，FD，FE，如果CF是DE的垂直平分线，那么CF是AB的垂线。由于2点决定一条直线，只要C和F都在DE的垂直平分线上，那么CF是DE的垂直平分线。由于CD和CE是一个圆的半径、FD和FE分别是两个等圆的半径，得证。
证明：连接CD，CE，FD，FE，
∵ D，E是圆C的圆周上的两点，
∴ CD=CE，
同理，FD=FE，
即C、F都在DE的垂直平分线上。
∵ 两点决定一条直线，
∴ CF是DE的垂直平分线。
∴ CF是AB的垂线。
有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴。
例2 如下图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
分析：我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴，为此作出到点A，B距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线。
作法：如下图，
(1)分别以点A和点B为圆心，大于½AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
(2)作直线CD。
CD就是所求作的直线。
这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点。
同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴。
例如，对于下图
中的五角星，我们可以找出它的一对对应点A和A'，连接AA'，作出线段AA'的垂直平分线l，则l就是这个五角星的一条对称轴。
五角星有多少条对称轴，类似地，你能作出这个五角星的其他对称轴吗？
强基初中数学&学Python——第143课 非轴对称图形与手性
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附录１：
#利用中垂线作点到直线的垂线
if __name__ == "__main__":
#导入统一接口集
from apis import *
#导入界面事件处理
from event import initMain
#导入平面直角坐标系
from rectangularcoordinatessystem import build, trace
#导入解三角形对象
from solvingtriangle import Triangle
import turtle as stl
initMain(stl)
setComTurtle(stl) #初始化命令行海龟
#stl.mainloop() #如果不是用idle打开，请恢复这句
from time import sleep #导入延时
from event import note #导入消息显示
delay = 1 #每步延迟一秒
#作线段AB
note("作线段AB")
dln("A","B",(-100,-100),(100,-100))
lb((-115,-115),coordinate=False,renameOn=False)
lb((100,-115),coordinate=False,renameOn=False)
sleep(delay)
#作线段外一点C
note("作线段外一点C")
ddt("C",(0,100))
lb((0,100),coordinate=False,renameOn=False)
sleep(delay)
#作与C不同侧一点K
note("作与C不同侧一点K")
ddt("K",(-50,-110))
lb((-65,-125),coordinate=False,renameOn=False)
sleep(delay)
#画左侧弧
note("画左侧弧")
dc((-50,-110),(0,100),aa=-20,s=1,c="blue")
sleep(delay)
#画右侧弧
note("画右侧弧")
dc((-50,-110),(0,100),aa=50,s=1,c="blue")
sleep(delay)
#打交点D，E
note("打交点D，E")
ddt("D",(-83,-100))
lb((-83,-100),coordinate=False,renameOn=False)
ddt("E",(83,-100))
lb((83,-100),coordinate=False,renameOn=False)
sleep(delay)
#画左弧
note("画左弧")
dc((25,-100),(-83,-100),aa=-50,s=1,c="red")
sleep(delay)
#画右弧
note("画右弧")
dc((-25,-100),(83,-100),aa=50,s=1,c="red")
sleep(delay)
#打交点F
note("打交点F")
ddt("F",(0,-169))
lb((-5,-180),coordinate=False,renameOn=False)
sleep(delay)
#连接CF
note("连接CF")
dln("C","F")
sleep(delay)
note("完成")