如下图，

图形A'B'C'D'是图形ABCD旋转180°后的图形，有点像轴对称，但图形的大小边不对应。为了研究它们的关系，连接关键点的对应点，如下图，

发现这些线段都过旋转中心。因为一对对应点与中心的连线的夹角是旋转角，然而旋转角是180°，所以两条线段在一条直线上。

　　如果两个全等形的所有对应点连线相交于一点并被这点平分，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称(central symmetry)，这个点叫做对称中心（简称中心)。这两个图形的对应点叫做关于对称中心的对称点。如下图，

△OCD和△OAB关于点O对称，点C与点A是关于点O的对称点。

　　中心对称的性质：

　　（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。

　　（2）中心对称的两个图形是全等图形。

　　例1　

　　(1)如下图，选择点O为对称中心，画出点A关于点O的对称点A'。

　　解：如下图，连接AO，在AO的延长线上截取OA'=OA，即可以求得点A关于点O的对称点A'。

　　(2)如下图，选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A'B'C'。

　　解：如下图，作出A，B，C三点关于点O的对称点A'，B'，C'，依次连接A'B'，B'C'，C'A'，就可得到与△ABC关于点O对称的△A'B'C'。

　　练习题1

1.　用《几何画板》分别画出下列图形关于点O对称的图形。

2.　下图中的两个四边形关于某点对称，找出它们的对称中心。

　　观看下面视频，将线段AB绕它的中点O旋转180°，你有什么发现？

，时长00:55

　　观看下面视频，将平行四边形ABCD绕它的两条对角线的交点O旋转180°，你有什么发现？

，时长01:14

　　可以发现，线段AB绕它的中点旋转180°后与它本身重合。平行四边形ABCD绕它的两条对角线的交点0旋转180°后也与它本身重合。像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形(central symmetry figure)，这个点就是它的对称中心。

　　由上可得，线段、平行四边形都是中心对称图形，对称中心分别是线段中点和对角线交点。

　　中心对称图形的形状通常匀称美观，我们在自然界中可以看到许多美丽的中心对称图形（如下图的雪花），

在很多建筑物和工艺品中也常采用中心对称图形作装饰图案（下图的剪纸工艺)。

另外，由于具有中心对称图形形状的物体，能够在所在的平面内绕对称中心平稳地旋转，所以在各种机器中要旋转的零部件的形状常设计成中心对称图形，如水泵叶轮等（下图）。

　　与轴对称图形一样，中心对称图形是图形本身的性质。有些图形既是中心对称图形又是轴对称图形，有一些图形只是中心对称图形或轴对称图形的一种。判定一个图形是否是轴对称图形比较容易，但判定一个图形是否是中心对称图形就有点复杂。

　　首先找到最可能的对称中心，通过相交于对称中心的两条或两条以上直线把图形分为不小于4的偶数份，检查对顶角部分是否是以对称中心为中心的两个对称图形，如果是，那么是中心对称图形，如下图；

否则，分析图形是否可以全部分解为一对对以对称中心对称的图形或以对称中心为中心的中心对称图形（同中心的中心对称图形组合仍然是中心对称图形。），如果可以，则是中心对称图形，如下图；

否则不是中心对称图形。

　　练习题2

1.　在我们学过的图形中，你能说出一些中心对称图形吗？

2.　在以下的图案中，哪些是中心对称图形？再举出几个自然界以及生活、生产中中心对称图形的实例。

　　如果在平面画上平面直角坐标系，使原点与对称中心重合，那么对称点的坐标有什么关系呢？

　　我们从点开始研究，如下图，在直角坐标系中，作出下列已知点关于原点O的对称点，并写出它们的坐标，这些坐标与已知点的坐标有什么关系？

　　A(4,0)，B(0,-3)，C(2,1)，D(-1,2)，E(-3,-4)。

　　作每一点与原点的连线，然后延长相等的长度得到对称点，如下图，得到它们的对称点坐标如下：

　　A'(-4,0)，B'(0,3)，C'(-2,-1)，D'(1,-2)，E'(3,4)。

　　两点关于原点对称的坐标规律：

　　两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点为P'(-x,-y)。

　　例2　如下图所示，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与△ABC关于原点对称的图形。

　　解：点P(x,y)关于原点的对称点为P'(-x,-y)，因此△ABC的三个顶点A(-4,1)，B(-1,-1)，C(-3,2)关于原点的对称点分别为A'(4,-1)，B'(1,1)，C'(3,-2)。依次连接A'B'，B'C'，C'A'，就可得到与△ABC关于原点对称的△A'B'C'(如下图)。

　　请看下面直角坐标系中四点的关系。

　　A'是A以y轴为对称轴的对称点，A'''是A'以x轴为对称轴的对称点；A''是A以x轴为对称轴的对称点，A'''是A''以y轴为对称轴的对称点。不难发现，A'''是A以原点为对称中心的对称点。因此，得到下面的结论：

　　一点不分先后依次以x轴和y轴为对称轴的对称点是以原点为中心的对称点。

　　根据上面的结论直接可以得到下面的推论：

　　如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它是中心对称图形。

　　如果不限于直角坐标系，例如要判定平行四边形，可以用坐标的形式陈述上面的推论：

　　如果一个图形在不限于直角坐标系中的任一点都有以x轴和y轴的对称点，那么这个图形是中心对称图形。

　　练习题3

1.　下列各点中哪两个点关于原点O对称？

　　A(-5,0)，B(0,2)，C(2,-1)，D(2,0)，E(0,5)，F(-2,1)，G(-2,-1)。

2.　写出下列各点关于原点的对称点A'，B'，C'，D'的坐标：

　　A(3,1)，B(-2,3)，C(-1,-2)，D(2,-3)。

3.　如图，已知点A的坐标为(-2√3,2)，点B的坐标为(-1,-√3)，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O。求C，D两点的坐标。