强基初中数学&学Python——第158课平行四边形

　　我们知道，三线段符合两边和大于第三边就可以构成一个三角形；四线段符合三边和大于第四边就可以构成一个四边形。但与三角形不一样的，构成的四边形不是唯一的，需要其它条件才能确定一个四边形。

　　两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(parallelogram)。平行四边形用“▱”表示，如下图，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”。

　　由平行四边形的定义，我们知道平行四边形的两组对边分别平行。除此之外，平行四边形还有什么性质呢？用《几何画板》对边和角计量如下视频所示。

，时长00:30

　　通过观察上面视频的计量数据，直接得到命题——平行四边形性质：

　　平行四边形的对边相等；

　　平行四边形的对角相等。

　　在应用平行四边形性质之前，我们需要对它进行“证明”。证明是运用公理和已证明的定理（与当前命题无关联）进行演绎逻辑推理得到当前的命题。因此在证明之前需要清楚可以用哪些公理和定理。

　　在这方面我们的课本中没有明确的说明，只是按内容顺序编排。对于“公理”，在《几何原本》中分为公理和公设。简单地说，公理是适合所有学科无需验证的命题；公设是特定的学科需要用它推导出的命题的正确性来验证的命题。下面直接引用《几何原本》兰纪正译本中的有关内容。

　　公理

　　1.　等于同量③的量彼此相等。

　　2.　等量加等量，其和仍相等。

　　3.　等量减等量，其差仍相等。

　　4.　被此能重合的物体是全等的。

　　5.　整体大于部分。

　　公设

　　1.　由任意一点到另外任意一点可以画直线。

　　2.　一条有限直线可以继续延长。

　　3.　以任意点为心及任意的距离①可以画圆。

　　4.　凡直角都彼此相等。

　　5.　同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角，则这二直线经无限延长后在这一侧相交②。

　　译本注：①到此原文中无“半径”二字出现，此处“距离”即圆的半径。

　　②这就是大家提到的欧几里得第5公设，即现行平面几何中的平行公理的原始等价命题。

　　③这里的“量”与公理4中的“物体”在原文中是同一个字thing。

　　由于公设已经被大量和长时间的验证，现在一般不区分公设和公理，都认为它们是公理。显然这些公理已被我们熟知，关键是可以用哪些定理了。

　　我们知道三角形的有关基本定理与四边形无关联，所以在证明四边形的命题时，当然可以用三角形的有关基本定理。由于命题需要的是边角的等量关系，自然就想到全等三角形的对应边和对应角相等。连接一条对角线，就构建两个三角形，剩下的问题就是证明这两个三角形全等了。由平行线的内错角相等得证（平行线性质先于三角全等判定）。

　　证明：如下图，连接AC。