上节我们研究了平行四边形，下面我们通过平行四边形角、边的特殊化，研究特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形。

　　我们先从角开始，如下图，当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形。有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(rectangle)，也就是长方形。

　　因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质。由于它有一个角为直角，它一定具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质。是什么特殊性质呢？

　　我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究。请看下面的视频。

，时长03:45

　　从视频中可以发现，矩形还有以下性质（证明后成为定理）：

　　矩形的四个角都是直角；

　　矩形的对角线相等。

　　如下图，已知▱ABCD的∠B是直角（矩形定义），求证：∠A，∠B，∠C，∠D都是直角。

　　分析：平行四边形的对角相等，邻角和是平角。

　　证明：∵　▱ABCD的∠B是直角，

　　∴　∠D也是直角。

　　∴　AD//BC，

　　∴　∠A+∠B是一个平角，

　　∴　∠A也是直角，

　　∴　∠C也是直角。

　　即∠A，∠B，∠C，∠D都是直角。

　　课堂练习1：

　　如下图，已知▱ABCD的∠B是直角（矩形定义），AC，BD是对角线，求证：AC=BD。

　　平行四边形的对角线互相平分，因此对于被一条对角线分开而成的两个三角形，另外一条对角线分开的两段分别是这两个三角形的中线。如下图所示，BO是△ABC的边AC的中位线，DO是△ADC的边AC的中位线。

　　当▱ABCD是矩形时，如下图，

AC=BD，BO=½BD=½AC，对于Rt△ABC，BO是斜边AC的中线。由此，我们得到直角三角形的一个性质：

　　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

　　例1　如下图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4。求矩形对角线的长。

　　分析：由于对角线等长并平分，所以只要求出等腰△ABO的腰，由于有一个角是60°，所以是等边三角形，得解。

　　解：∵　四边形ABCD是矩形，

　　∴　AC与BD相等且互相平分。

　　∴　OA=OB。

　　又　∠AOB=60°，

　　∴　△OAB是等边三角形。

　　∴　OA=AB=4。

　　∴　AC=BD=2OA=8。

　　练习题1

1.　一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线的一个交角为120°。求这个矩形的边长（实数值）。

2.　平行四边形是中心对称图形，但不是所有的平行四边形都是轴对称图形。矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？

　　上面我们研究了矩形的性质，下面我们研究如何判定一个平行四边形或四边形是矩形。

　　由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形。除此之外，还有没有其他判定方法呢？

　　与研究平行四边形的判定方法类似，我们研究矩形的性质定理的逆命题，看看它们是否成立。

　　我们知道，矩形的对角线相等。反过来，对角线相等的平行四边形是否一定是矩形呢？先看下面的视频。

，时长00:30

　　通过视频我们发现矩形的一个判定方法（证明后是定理）：

　　对角线相等的平行四边形是矩形。

　　如下图，▱ABCD的对角线AC=BD，求证：▱ABCD是矩形。

　　分析：由平行线的性质可知，平行四边形的邻角和是平角，所以只要证明邻角相等就行，用三边相等的全等得证。

　　证明：∵　▱ABCD，

　　∴　AD=BC。

　　又　AB=BA，BD=AC，

　　∴　△ABD≌△BAC。（SSS）

　　∴　∠DAB=∠CBA。

　　又　∠DAB+∠CBA=180°，

　　∴　∠DAB=90°.

　　即▱ABCD是矩形。

　　课堂练习2：工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形。请说出其中的道理吗？

　　我们知道矩形的内角都是直角，它的逆命题——四个角都是直角的四边形是矩形——成立吗？由于四边形的内角和是360°，那么只要三个角是直角就行。先看下面的视频。

，时长00:40

　　通过视频我们发现矩形的另一个判定方法（证明后是定理）：

　　有三个角是直角的四边形是矩形。

　　课堂练习3：如下图，在四边形ABCD中，已知∠A=∠B=∠C=90°，求证：四边形ABCD是矩形。

　　例2　如下图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°。求∠OAB的度数。

　　分析：∠OAB=∠DAB-∠OAD，由于∠OAD已知，求∠DAB就行。▱ABCD对角线一半相等，即对角线相等，所以是矩形，得解。

　　解：，∵　四边形ABCD是平行四边形，

　　∴　OA=OC=½AC，OB=OD=½BD。

　　又　OA=OD，

　　∴　AC=BD。

　　∴　四边形ABCD是矩形。

　　∴　∠DAB=90°.

　　又　∠OAD=50°,

　　∴　∠OAB=40°.

　　练习题1

1.　如下图八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线。如果一条对角线用了38盆红花，还需要从花房运来多少盆红花？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？

2.　如下图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=4。求▱ABCD的面积（实数值）。