我们观察平行四边形的一组邻边，如下图，
当这组邻边相等时，这时的平行四边形也是一个特殊的平行四边形。有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(rhombus)。
菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质。由于它的一组邻边相等，它一定具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质。
对于菱形，我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究。请看下面的视频。
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从视频中可以发现，菱形还有以下性质（证明后成为定理）：
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
如下图，在▱ABCD中，AB=BC，求证：AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB，∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA。
分析：邻边相等，加上平行四边形对边相等，直接可以得到四边相等。由于邻边相等，被对角线分开的两个相邻的三角形全等，问题得证。
证明：∵ ▱ABCD，
∴ AB=CD，BC=AD。
又 AB=BC，
∴ AB=BC=CD=AD.
又 OA=OC，OB=OD，
∴ △ABO≌△CBO≌△CDO≌△ADO。（SSS）
∴ ∠AOB=∠COB，
∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB，
∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA。
又 ∠AOB+∠COB=180°，
∴ AC⊥BD。
如下图，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而其它平行四边形通常只被分成两对全等的三角形。
课堂练习1：已知菱形两条对角线的长分别是a，b，求出它的面积吗？
菱形也是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴。
例3 如下图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD。求两条小路的长（结果保留小数点后两位)和花坛的面积（结果保留小数点后一位)。
分析：连接对角线，两条对角线垂直并把菱形分为四个全等的直角三角形，由于∠ABC=60°，所以这些直角三角形有一个角是30°，对边是斜边的一半，邻直角边是对边的√3，结果可求。√3=1.732。
解：∵ 花坛ABCD的形状是菱形，
∴ AC⊥BD，∠ABO=½∠ABC=½×60°=30°.
在Rt△OAB中，
AO=½AB=½×20=10，
BO=√AB²-AO²=√20²-10²=10√3。
∴ 花坛的两条小路长
AC=2AO=20(m)，
BD=2BO=20√3≈34.64(m).
花坛的面积
S菱形ABCD=4×S△OAB=2AC·BD=200√3≈346.4(m).
练习题1
1. 四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4。求AC和BD的长。
2. 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，求菱形的周长和面积。
上面我们研究了菱形的性质，下面我们研究如何判定一个平行四边形或四边形是菱形。
由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。除此之外，还有没有其他判定方法呢？
与研究平行四边形、矩形的判定方法类似，我们研究菱形的性质定理的逆命题，看看它们是否成立。
我们知道，菱形的对角线互相垂直，反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？请看下面的视频。
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通过视频我们发现菱形的一个判定方法（证明后是定理）：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
如下图，已知▱ABCD的对角线AC⊥BD，垂足是O，求证：▱ABCD是菱形。
分析：要▱ABCD是菱形，则要AB=BC，由于▱ABCD对角线相互平分，AC⊥BD，所以BD是AC的垂直平分线，得证。
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=OC。
又 AC⊥BD，
∴ BD是AC的垂直平分线，
∴ AB=BC。
即▱ABCD是菱形。
例4 如下图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3。求证：▱ABCD是菱形。
分析：由于四边形ABCD是平行四边形，只要证明对角线垂直，勾股定理逆定理得证。
证明：∵ AB=5，AO=4，BO=3，5²=4²+3²，
∴ AB²=AO²+BO²。
∴ △OAB是直角三角形。（勾股定理逆定理）
∴ AC⊥BD。
∴ ▱ABCD是菱形。
我们知道，菱形的四条边相等，反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？请看下面的视频。
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通过视频，我们发现菱形的另一个判定方法（证明后是定理）：
四条边相等的四边形是菱形。
如下图，已知四边形ABCD，AB=BC=CD=DA，求证：四边形ABCD是菱形。
分析：由于四边相等，所以邻边相等，只要证明四边形ABCD是平行四边形就行了。由两组对边相等得证。
证明：∵ 在四边形ABCD中，
AB=CD，BC=DA，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。（两组对边分别相等）
又 AB=BC，
∴ 四边形ABCD是菱形。（定义）
练习题1
1. 一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和6√5，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积。
2. 如下图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？
