我们学习了平行四边形、矩形、菱形和正方形。比较一下，哪种图形的性质最多？答案无疑是正方形。

　　正方形的四个角相等、四条边相等、对角线相等且互相垂直平分，它的对称轴比其他四边形都多，它还是中心对称图形（对角线交点为中心），对于中心90°的旋转对称图形。这些特点使正方形得到了人们的喜爱和广泛应用。

　　例如，人们用边长为单位长度的正方形的面积，作为度量其他图形面积的基本单位；人们也常利用正方形美化生活环境，比如，用正方形地砖镶嵌地面，不仅美观大方，而且施工简单易行。

　　正方形还有许多有趣的性质。先观看下面周长一定时，矩形面积的变化视频。

，时长00:45

　　我们知道，平行四边形中，当边长一样时，矩形的面积最大。从上视频中可以得到下面的命题：

　　周长一定时，平行四边形中正方形的面积最大。

　　如下图，矩形ABCD的周长是L，当AB=BC时面积最大。

　　分析：把命题转为它的等价命题：矩形ABCD的周长是L，当AB=BC时的面积比AB>BC时的面积大。如图，构建一个AB>BC的同样周长的矩形，显然矩形DD'OC的面积比矩形BB'C'O的面积大，得证。

　　证明：矩形ABCD是正方形，延长AB到B'，以AB'为底边作一个周长是L的矩形AB'C'D'，

　　∵　AB'+AD'=AB+AD，

　　∴　AB'-AB=AD-AD'，

　　∴　D'D=BB'.

　　∵　DC=CB，CB>BO，

　　∴　S矩形DD'OC>S矩形BB'C'O，

　　∴　S矩形DD'OC+S矩形ABOD'>S矩形BB'C'O+S矩形ABOD'，

　　∴　S矩形ABCD>S矩形AB'C'D'。

　　即正方形ABCD的面积最大。

　　代数法证明：设AB=a，BC=b，则

　　a+b=L/2，①

　　面积 S= ab，②

　　①两边平方，得

　　a²+b²+2ab=L²/4，③

　　③两边加2ab并移项得

　　4ab=L²/4-a²-b²+2ab，

　　4ab=L²/4-(a-b)²，④

　　把②代入④得

　　4S=L²/4-(a-b)²，⑤

　　由⑤可知

　　当a=b时，面积S最大。

　　即正方形ABCD的面积最大。

　　因此，要用给定长度的篱笆围成一个面积最大的四边形区域，那么应当把这个区域选为正方形。

　　下面是两个有关正方形的小实验，想一想其中的道理：

　　1.　如下图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等。无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的1/4，想一想，这是为什么。

　　由于两个正方形大小一样，正方形A1B1C1O的三个顶点A1B1C1一定在正方形ABCD的外面。不失一般性，假如开始OA与OA1重叠，OC1与OB重叠，那么△OAB就是重叠部分，面积是正方形ABCD的1/4。原命题就变为：

　　已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于O，正方形A1B1C1O的边长与正方形ABCD的相等，A1O交AB于E点，C1O交BC于F点，求证：四边形OEBF的面积等于△OAB的面积。

　　分析：由于正方形，OA=OB，∠OAE=∠OBF，∠AOE=BOF=90°-∠EOB，△OAE≌OBF，得证。

　　证明：∵　正方形ABCD，

　　∴　OA=OB，∠OAE=∠OBF，

　　又　∠AOE=BOF=90°-∠EOB，

　　∴　△OAE≌OBF。（ASA）

　　∴　四边形OEBF的面积等于△OAB的面积。

2.　如下图，通过切割把两个正方形拼接成一个大正方形。