活动1——折纸做60°，30°，15°的角

　　我们知道一副三角尺有60°，30°，45°的角，45°-30°=15°，因此通过一副三角尺是可以画出60°，30°，15°的角。如果我们身旁没有量角器或三角尺，只有长方形的纸片，又需要作60°，30°，15°等大小的角。对折成一个正方形，它的对角线平分直角可得到45°角，60°=2×30°，所以关键是制作出30°的角。90÷30=3，也就是三分直角的问题。

　　根据以往的经验，先研究三分直角的性质，然后研究这些性质的逆命题，最后才能得到解决方案。

　　如下图，射线BM和BN是矩形ABCD的∠ABC的三分线，以B点圆心BA为半径作圆交BN与N点，过N点作BC的平行线交AB于E点，交CD于F点，求证：E是AB中点，F是CD中点。

　　分析：由于EF//BC，要E、F是中点，就要EF上任一点到BC的距离都是AB的一半，即N点到BC的距离NQ也是AB的一半，由NQ是Rt△NBQ的30°对边，斜边等于AB得证。

　　证明：过N点作BC的距离NQ，在Rt△NBQ中，

　　∵　∠NBQ=90°/3=30°，

　　∴　NQ=½BN=½AB，

　　∴　EB=½AB，FC=½CD。

　　即E是AB中点，F是CD中点。

　　逆命题：如上图，在矩形ABCD中，E是AB中点，F是CD中点，连接EF，以B点为圆心BA为半径作圆交EF于N点，连接BN，作∠ABN平分线BM，求证：BM，BN是直角ABC的三分线。

　　证明：过N点作BC的距离NQ，在Rt△NBQ中，

　　∵　NQ=½AB，

　　又　AB=BN，

　　∴　NQ=½BN，

　　∴　∠NBC=30°，∠ABN=90°-∠NBC=60°。

　　又　BM是∠ABN的平分线，

　　∴　BM，BN是直角ABC的三分线。

　　通过上面的证明，我们可以采用下面的方法三分直角（如下图）：

　　(1)对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平。

　　(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM。同时，得到了线段BN。

　　(3)折叠矩形，使A点在BC上的O点上，展开得折痕BP。

　　这时∠OBN=∠NBM=∠MBA=30°，∠OBM=∠NBA=60°，∠NBP=∠PBM=15°。

　　练习题1：在上例基础上，作105°，120°，135°，150°的角。

　　活动2——黄金矩形

　　宽与长的比是(√5-1)/2(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形。黄金矩形给我们以协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙（下图）等。

　　下面我们折叠出一个黄金矩形：

　　第一步，在一张矩形纸片的一端，利用下图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平。

　　第二步，如下图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平。

　　第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到下图中所示的AD处。

　　第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE(下图)就是黄金矩形。

　　如下图，正方形ABCD，E是BC中点，以E为圆心，ED为半径作圆，交于BC延长线交于G点，求证：CG:CD=(√5-1):2。

　　证明：设正方形ABCD的边长是2a，

　　那么　ED²=EC²+CD²=a²+4a²=5a²，（勾股定理）

　　∴　ED=√5a，

　　∴　CG:CD=(ED-EC)/CD=(√5a-a)/2a=(√5-1):2。

　　练习题2：如下图，正方形ABCD和正方形CEFG，延长FG交AB于H，连接HC和DF，HC//DF。求证：矩形BCGH是黄金矩形。