圆不止是中心对称图形（圆心就是它的对称中心），而是最完美的旋转对称图形（圆心就是它的旋转对称中心）。圆的关于旋转对称性质（证明后是定理）：

　　把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合。

　　已知圆⊙O，求证：⊙O是任意角度的旋转对称图形。

　　分析：根据到圆心的距离等于半径的点都在圆周上得证。

　　证明：设P，P'是圆⊙O的圆周上不重合的任意两点，P点绕圆心旋转，

　　∵　到圆心距离等于半径的点都在同一个圆上，

　　∴　P点一定会与P'点重合。

　　即P，P'是旋转对称点，因此上面的定理得证。

　　利用这个性质，我们还可以得到圆的其他性质。

　　我们把顶点在圆心的角叫做圆心角(central angle)。如下图，⊙O中，当圆心角∠AOB=∠A'OB'时，它们所对的弧AB和弧A'B'、弦AB和弦AB相等。即圆心角性质（证明后是定理）：

　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

　　我们把∠AOB连同弧AB绕圆心O旋转，使射线OA与OA'重合。

　　∵　∠AOB=∠A'OB'，

　　∴　射线OB与OB'重合。

　　又　OA=OA'，OB=OB'，

　　∴　点A与A'重合，点B与B'重合。

　　因此，弧AB与弧A'B'重合，AB与A'B'重合。即弧AB=弧A'B'，AB=A'B'。

　　同样，还可以得到：

　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等：

　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。

　　把这三条定理合在一起：

　　同圆或等圆中，由圆心角、弧和弦组成的两个图形，如果有一组量相等，则其它组量也相等。

　　例3　如下图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠ACB=60°。求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC。

　　分析：如果∠AOB=∠BOC=∠AOC，由圆心角定理可知，AB=AC=BC，即△ABC是等边三角形，又由于∠ACB=60°，只要能证明它是等腰三角形即可，由弧AB=弧AC得证。

　　证明：∵　弧AB=弧AC，

　　∴　AB=AC，△ABC是等腰三角形。

　　又∠ACB=60°，

　　∴　△ABC是等边三角形，AB=BC=CA。

　　∴　∠AOB=∠BOC=∠AOC。

　　练习题1：

　　请观看下面的视频。

，时长00:35

　　圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。从视频中可以看到，弦与弦心距有一一对应关系，弦心距与弦的关系的互逆命题（证明后是定理）：

　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对应的弦心距相等；

　　在同圆或等圆中，如果弦心距相等，那么它们所对应的两条弦相等。

　　原命题：如下图，在⊙O中，AB=A'B'，OM，OM'分别为AB，A'B'的弦心距，求证：OM=OM'。

　　分析：全等等腰三角形的高。

　　证明：连接OA，OB，OA'，OB'，

　　∵　AB=A'B'，

　　又　OA=OB=OA'=OB'，

　　∴　△OAB≌△OA'B'，（SSS）

　　∴　OM=OM'。

　　逆命题：如上图，在⊙O中，OM=OM'，OM，OM'分别为AB，A'B'的弦心距，求证：AB=A'B'。　　分析：由垂径定理可知垂足M和M'分别平分AB，A'B'，那么只需证明直角三角形全等，由HL全等得证。　　证明：连接OA，OB，OA'，OB'，在Rt△OAM和Rt△OA'M'中，　　∵　OA=OA'，OM=OM'，　　∴　Rt△OAM≌Rt△OA'M'。（HL）　　∴　AM=A'M'，　　又　AM=½AB，A'M'=½A'B'，（垂径定理）　　∴　AB=A'B'，

　　把这两个互逆的定理合并到上面的定理中：

　　同圆或等圆中，由圆心角、弧、弦和弦心距组成的两个图形，如果有一组量相等，则其它组量也相等。

　　据说中国古代某个时期，把一个周角分为365份，一份作为角的单位（1°），那一个直角就是91¼°。可见直角是90°不是绝对的，它与把一个周角分360份的一份作为单位有关，即是说，与人为规定有关。那么是否存在一个和人为规定无关，反映角度本身性质的量呢？

　　大量的数学事实证明，圆的周长与直径之比与圆的大小无关，那就只与圆心角有关，那么半径为1时，弧长1对应的圆心角为角的单位，就是弧度制。半径为1时，周长是2π，那么一个直角是π/2。单位换算：

弧度制值=角度制值/180×π。

　　练习题2：

　　1.　求证：同圆或等圆中，大弦的弦心距小于小弦的弦心距。

　　2.　弧度制的1弧度，相当于角度制的多少度（π=3.14，保留小数点后1位）。