请看下面的视频。

，时长00:40

　　可以看出，这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径，根据“直线l和⊙O相切<=>d=r”得直线l就是⊙O的切线。这样，我们得到切线的判定定理：

　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

　　在生活中，有许多直线和圆相切的实例。例如，下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠，

在砂轮上打磨工件时飞出的火星，

都是沿着圆的切线方向飞出的。

　　把判定定理反过来就是切线的性质（证明后是定理）：

　　圆的切线垂直于过切点的半径。

　　如下图，直线l就是⊙O的切线，切点是A，求证：l⊥OA。

　　分析：这个命题的逆命题是已经证明了的真命题，因此比较适合用反证法。

　　证明：假设l不垂直于OA，作O到l的距离OB，在Rt△OAB中，

　　∵　 ∠OBA是直角，

　　∴　OA>OB，

　　即B点在⊙O内，与直线l就是⊙O的切线相矛盾，假设l不垂直于OA不成立，

　　∴　l⊥OA。

　　例1　如下图，△ABC为等腰三角形O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D。求证：AC是⊙O的切线。

　　分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了，而OD是⊙O的半径，因此需要证明OE=OD。

　　证明：如下图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA。

　　∵　⊙O与AB相切于点D，

　　∴　OD⊥AB。

　　又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，

　　∴　AO是∠BAC的平分线。

　　∴　OE=OD，即OE是⊙O的半径。

　　这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与⊙O相切。

　　练习题1

　　下面研究经过圆外一点所作的两条切线之间的关系。如下图，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与⊙O相切。经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。

　　请看下面的视频。

，时长00:12

　　由此得到圆外点切线性质（证明后是切线长定理）：

　　从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

　　如下图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B。过P，O作直线PO。求证：PA=PB，∠APO=∠BPO。

　　分析：如果PA=PB，∠APO=∠BPO，两个三角形全等，构造两个三角形并证明它们全等。

　　证明：如下图，连接OA和OB。

　　∵　PA和PB是⊙O的两条切线，

　　∴　OA⊥AP，OB⊥BP。

　　又　OA=OB，OP=OP。

　　∴　Rt△AOP≌Rt△BOP。

　　∴　PA=PB，∠APO=∠BPO。

　　下图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？

　　假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径。如何找到这个圆心呢？

　　我们以前学过，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等。因此，如下图，分别作∠B，∠C的平分线BM和CN，设它们相交于点I，那么点I到AB，BC，CA的距离都相等。以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切，圆I就是所求作的圆。

　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆(inscribed circle)，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心(incenter)。

　　例2　如下图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13。求AF，BD，CE的长。

　　分析：一共是三对等量，它们总和知道，那么三个和可求，三组两个和也知，所以可以求解。

　　解：∵　BC、CA、AB都是⊙O的切线，分别相切于点D，E，F，

　　∴　AF=AE，BD=BF，CE=CD，

　　∴　AF+BD+CE=(AF+AE+BD+BF+CE+CD)/2，

　　∴　AF+BD+CE=(9+14+13)/2=18。

　　又　∵　BD+CE=BD+DC=BC=14，

　　∴　AF=18-14=4.

　　同理 BD=5，CE=9.

　　练习题2

1.　如下图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心。求∠BOC的度数。

2.　△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积。

3.　如下图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，切点是A，过P和圆心O的直线交圆于B和C点。求证：PA²=PB·PC。