各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。只要把一个圆分成相等的一些弧，作出这些弧对应的弦，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

　　以圆内接正五边形为例证明。

　　如下图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE。

　　∵　弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA，

　　∴　AB=BC=CD=DE=EA，

　　　　弧BCE=3弧AB=弧CDA。

　　∴　∠A=∠B。

　　同理∠B=∠C=∠D=∠E。

　　又　五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，

　　∴　五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆。

　　我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距（如下图）。

　　例　如下图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）。

　　解：如下图，连接OB，OC。因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于360°/6=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径。

　　因此，亭子地基的周长

l=6×4=24(m)。

　　作OP⊥BC，垂足为P。在Rt△OPC中，OC=4m，PC=2(m)，利用勾股定理，可得边心距

r=√4²-2²=2√3(m)。

　　亭子地基的面积

S=½lr=½x24×2√3≈41.6m。

　　练习题1

1.　矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？

2.　各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么；如果不是，举出反例。

3.　分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积.

4.　正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？

　　画正多边形，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，最简单的办法就是先等分圆周，然后顺次连接各等分点。

　　由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形。例如，画一个边长为1.5cm的正六边形时，可以以1.5cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个等于360°/6=60°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得到正六边形（如下图)。

　　对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作。例如，我们也可以这样来作正六边形。由于正六边形的边长等于半径，所以在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到半径为R的正六边形（如下图)。

　　作图过程参考下面视频。

，时长02:00

　　再如，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形（如下图）。

　　练习题2

1.　画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星。

2.　用等分圆周的方法画出下列图案（用《几何画板》只画出形状）。