类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？

　　任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？请看下面的视频。

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　　可以发现，这两个三角形相似。我们可以利用上节课的定理进行证明。

　　如下图，在△ABC和△A'B'C'中，AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'。求证△ABC∽△A'B'C'。

　　分析：为了证明相似关系，需要把三角形ABC映射到三角形A'B'C'中。

　　证明：如下图，在线段A'B'(或它的延长线)上截取A'D=AB，过点D作DE//B'C'，交A'C'于点E。根据上节课的定理，可得△A'DE∽△A'B'C'。

　　∴　A'D/A'B'=DE/B'C'=A'E/A'C'。

　　又　AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'，A'D=AB，

　　∴　DE/B'C'=BC/B'C'，　A'E/A'C'=AC/A'C'，

　　∴　DE=BC，A'E=AC。

　　∴　△A'DE≌△ABC。（SSS）

　　∴　△ABC∽△A'B'C'。

　　由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理（如下图）：

　　三边成比例的两个三角形相似。（相似SSS）

　　类似于判定三角形全等的SAS方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？

　　如下图，在△ABC和△A'B'C'中，AB/A'B'=AC/A'C'，∠A=∠A'。求证△ABC∽△A'B'C'。

　　分析：为了证明相似关系，需要把三角形ABC画到三角形A'B'C'中。

　　证明：如下图，在线段A'B'(或它的延长线)上截取A'D=AB，在线段A'C'(或它的延长线)上截取A'E=AC，　

　　∵　∠A=∠A'，

　　∴　△ABC≌△A'DE。（SAS）

　　∵　AB/A'B'=AC/A'C'，

　　∴　A'D/A'B'=A'E/A'C'。

　　∴　DE//B'C'。（三角形平行底定理逆定理）

　　∴　△A'DE∽△A'B'C'，

　　∴　△ABC∽△A'B'C'。

　　由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理（如下图）：

　　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。（相似SAS）

　　例1　根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：(1)AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，

　　A'B'=12cm，B'C'=18cm，A'C'=24cm；

(2)∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，

　　∠A'=120°，A'B'=3cm，A'C'=6cm。

4.　对于△ABC和△A'B'C'，如果AB/A'B'=AC/A'C'，∠B=∠B'，这两个三角形一定相似吗？如果不相似，请画出一个反例。

　　观察两副三角尺（如下图），其中有同样两个锐角(30°与60°，或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。

　　如下图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'。求证△ABC∽△A'B'C'。

　　分析：把△ABC按角边角的模式映射到△A'B'C'中，同位角相等得证。

　　证明：如下图，在线段A'B'(或它的延长线)上截取A'D=AB，作线段DE，使∠A'DE=∠B，与线段A'C'(或它的延长线)交于E点，

　　∴　DE//B'C'，

　　∴　△A'DE∽△A'B'C'。

　　又　∵　∠A=∠A'，

　　∴　△ABC≌△A'DE，

　　∴　△ABC∽△A'B'C'。

　　由此得两个三角形相似的判定定理（如下图）：

　　两角分别相等的两个三角形相似。（相似AA）

　　由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似。

　　我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？

　　由此得直角三角形相似的判定定理：

　　斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。（相似HL）