我们知道三角形三对应边成比例是相似三角形的判定定理之一。如下图，

在△ABC和△A'B'C'中，

AB/A'B'=BC/B'C'=CA/C'A'， ①

把①式分为下面2个等式，

AB/A'B'=BC/B'C'，②

BC/B'C'=CA/C'A'，③

上面2个式子变换一下成了下面2个等式，

AB/BC=A'B'/B'C'，④

BC/CA=B'C'/C'A'。⑤

　　因此，我们得到相似三角形三对应边成比例判定定理的推论：

　　在两个三角形中，两对应邻边之比分别相等，那么这两个三角形相似。

　　同理，可以得到相似三角形两对应边成比例夹角相等判定定理的推论：

　　在两个三角形中，一对应邻边之比相等，这对邻边的夹角也相等，那么这两个三角形相似。

　　也同理，可以得到相似直角三角形对应直角边和斜边成比例判定定理的推论：

　　在两个直角三角形中，一对应直角边与斜边之比相等，那么这两个直角三角形相似。

　　注意：上面的三个推论不可以作为证明题中判定相似三角形的直接依据，需要转化为判定定理。

　　例1　判断对错：一个三角形的三条边分别是13，17，28，另一个三角形的三条边分别是85，140，65，这两个三角相似。

　　解：由于13/17=65/85，13/28=65/140，得两个三角形是相似三角形。命题对。

　　判定定理的推论在运算上只是变换了量的位置，但在几何上产生了很大的变化，因为不再需要比较两个三角形的对应边了。难道邻边之比只是一个数字魔术吗？

　　为此，我们讨论直角边与斜边之比。如下图，

相似Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，

AC/AB=A'C'/A'B'。①

由三角函数的定义得

sin∠B=AC/AB，②

sin∠B'=A'C'/A'B'。③

把②、③代入①得

sin∠B=sin∠B'，④

所以

∠B=∠B'。

即直角边与斜边之比确定直角三角形的锐角，这个比相等与一个锐角相等等价。

　　其实在所有三角形中对应邻边之比相等与一个内角相等等价。另外由于三角形内角和是180°，所以相似三角形判定归结到一个定理——两角分别相等的三角形相似。

　　这样，三角形相似的实质是三角形的对应内角相等，对应内角不相等，就说明不相似。相似比（对应边之比）的大小不影响三角形是否相似，它与三角形的内角大小无关，是反映图形大小的量。

　　如下图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？

　　如下图，分别作△ABC和△A'B'C'的对应高AD和A'D'。

　　∵　△ABC∽△A'B'C，

　　∴　∠B=∠B'。

　　又　△ABD和△A'B'D都是直角三角形，

　　∴　△ABDC∽△A'B'D'。

　　∴　AD/A'D'=AB/A'B'=k。

　　类似地，可以证明相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比也等于k。

　　这样，我们得到：

　　相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。

　　∵　AB/A'B'=BC/B'C'=CA/C'A'=k，

　　∴　AB=A'B'·k，BC=B'C'·k，CA=C'A'·k，

　　∴　AB+BC+CA=(A'B'+B'C'+C'A')k，

　　∴　(AB+BC+CA)/(A'B'+B'C'+C'A')=k。

　　即是：

　　相似三角形周长之比等于相似比。

　　一般地，我们有：

　　相似三角形对应线段的比、对应线段的和或差（不等于0）之比都等于相似比。

　　如果把三角形的边、高、中线、角平分线、内切圆半径、外接圆半径周长等这些与线长短有关的几何量称为“线量”，上面的定理称作“相似三角形线量定理”：

　　相似三角形对应非0线量的比都等于相似比。

　　我们继续考察正方形、相似矩形、相似菱形、相似平行四边形、相似梯形和圆形，它们的“线量”都符合“相似线量定理”（这里不提供证明，同学们可以自行证明）。事实上所有的相似图形都符合“相似形线量定理”（一般图形的证明超出初中数学范围）：

　　相似形对应非0线量的比都等于相似比。

　　例2　如下图，Rt△ABC，∠C=90°，AB=c，BC=a，CD=b，求证：a²+b²=c²（勾股定理）。

　　分析：如下图，作斜边上的高，把直角三角形分为两个与原直角三角形相似的直角三角形，由相似直角三角形容易得到a²，b²的整式表达式，把它们相加得证。

　　证明：如上图，作斜边上的高，垂足是D，

　　∵　∠B=∠B，

　　∴　Rt△CDB∽Rt△ACB，

　　∴　BD/BC=BC/BA，

　　∴　BC²=BD·BA。

　　同理得

　　AC²=AD·AB。

　　∴　BC²+AC²=BD·BA+AD·AB=(BD+DA)·AB=AB²。

　　即 a²+b²=c²。（一般认为这是欧几里得证法）

　　相似三角形面积的比与相似比有什么关系？

　　如上图，由前面的结论，我们有

　　这样，我们得到：

　　相似三角形面积的比等于相似比的平方。

　　同样，我们得到“相似形面积定理”（一般图形的证明超出初中数学范围）：

　　相似形面积的比等于相似比的平方。

　　进一步，我们得到“相似体体积定理”（一般图形的证明超出初中数学范围）：

　　相似体体积的比等于相似比的立方。

　　例4　如下图，已知△ABC∽△A'B'C'，相似比是2/3，△ABC内切圆周长是12π，计算△A'B'C'内切圆的周长和面积（结果中含π）。

　　解：∵　△A'B'C'内切圆的周长/△ABC内切圆周长=3/2，

　　又 △ABC内切圆周长=12π，

　　∴　△A'B'C'内切圆的周长=12π×3/2=18π。

　　∴　△A'B'C'内切圆的半径=18π/2π=9。

　　∴　△A'B'C'内切圆的面积=π×9²=81π。

　　例5　如下图，一个圆锥的体积是80m³，在高一半的位置切去一个小圆锥，剩下的圆台体积是多少？

　　解：切去的圆锥与原圆锥是相似体，相似比是1/2，那么体积是原来的(1/2)³，所以

剩下的圆台体积=(1-(1/2)³)*80=70m³。

　　练习题1：

4.　要把一个高10m的圆锥分为体积相等的一个圆锥和一个圆台，请问在离底多少米处切开（实数表示）？