在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形。例如，蜘蛛网画（如下图）。

又例如，在照相馆中，摄影师通过照相机，把人物的影像缩小在底片上。这样的放大或缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的图形，与原图形是相似的。

　　下面，我们来研究这类相似的图形。

　　如下图，如果一个图形上的点A，B，…，P，…和另一个图形上的点A'，B'，…，P'，…分别对应，并且它们的连线AA'，BB'，…，PP'，…都经过同一点O，OA/OA'=OB/OB'=…=OP/OP'=…，那么这两个图形叫做位似图形(homothetic figures)，点O是位似中心。位似图形不仅相似，而且具有特殊的位置关系。

　　对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形。

　　利用位似，可以将一个图形放大或缩小例如，要把四边形ABCD缩小到原来的½，我们可以在四边形ABCD外任取一点O（如下图），分别在线段OA，OB，OC，OD上取点A'，B'，C'，D'，使得OA'/OA=OB'

/OB=OC'/OC=OD'/OD=½，顺次连接点A'，B'，C'，D'，所得四边形A'B'C'D'就是所要求的图形。

　　我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转（包括中心对称），类似地，位似也可以用两个图形坐标之间的关系来表示。

　　如下图，在直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)。以原点O为位似中心，相似比为⅓，把线段AB缩小。观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？

　　可以看出，把AB缩小后，A，B的对应点为A'(2,1)，B'(2,0)；A''(-2,-1)，B''(-2,0)。

　　如下图，△AOC三个顶点的坐标分别为A(4,4)，O(0,0)，C(5,0)。以点O为位似中心，相似比为2，将△AOC放大。观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？

　　可以看出，把△AOC放大后，A，O，C的对应点为A'(8,8)，O(0,0)，C'(10,0)；A''(-8,-8)，O(0,0)，C''(-10,0)。

　　一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)。

　　证明：如下图，设点(x,y)到原点距离为r，则

　　r²=x²+y²。

　　又　设它的对应点是(x',y')，则

　　(kr)²=x'²+y'²。

　　又　设点(x,y)和(x',y')同在直线的一次项系数是a，那么

　　y=ax，y'=ax'，

　　∴　 r²=(a²+1)x²，(kr)²=(a²+1)x'²。

　　∴　x'=±kx，y'=±ky

　　即　点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)。

　　例　如下图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2,4)，B(-2,0)，O(0,0)。以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为3/2。

　　分析：由于要画的图形是三角形，所以关键是确定它的各顶点坐标。根据前面总结的规律，点A的对应点A'的坐标为[-2×(3/2),4×(3/2)]，即(-3，6)。类似地，可以确定其他顶点的坐标。

　　解：如上图，利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点A'(-3,6)，B'(-3,0)，O(0,0)。顺次连接点A'，B'，O，所得△A'B'O就是要画的一个图形。

　　位似图形除了具有相似图形的性质外，还具有什么独特的性质呢？请看下面的视频。

，时长00:38

　　从视频中可以看到位似图形的性质：

　　位似图形所有的对应点连接的直线相交于位似中心；位似中心到对应点线段之比全部等于相似比；如果位似中心是原点，对应点非0的纵或横坐标之比的绝对值也全部等于相似比。

　　说明：由位似图形的定义可得“位似图形所有的对应点连接的直线相交于位似中心；位似中心到对应点线段之比全部等于相似比。”由上面的证明可得“如果位似中心是原点，对应点非0的纵或横坐标之比的绝对值也全部等于相似比。”