下面是两幅奇妙的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？

　　图1叫做谢尔宾斯基地毯，它最早是由波兰数学家谢尔宾斯基这样制作出来的：把一个正三角形分为全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法……将这种做法继续进行下去，就能得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（图3）。这种图形中大大小小的三角形之间有什么关系？

　　图2叫做雪花曲线，它可以从一个等边三角形开始画：把一个等边三角形的每边分成相同的三段，再在每边中间一段上向外画出一个等边三角形，这样一来就做成了一个六角星。然后在六角星的各边上用同样的方法向外画出更小的等边三角形，出现了一个有18个尖角的图形。如此继续下去，就能得到分支越来越多的曲线（图4）。继续重复上面的过程，图形的外边界逐渐变得越来越曲折、越来越长、图案变得越来越细致、越来越复杂，越来越像雪花、越来越美丽了，这种图形的产生过程中大大小小的三角形之间有什么关系？

　　猜想，上面这样的图形中，存在多种相似关系，例如其中大大小小的三角形是相似的。

　　事实上，上面的图形中都存在自相似性，即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系，这样的图形叫做分形图形。分形图形具有奇特的性质，例如，如果把上面那样画雪花曲线的做法无限地继续下去，雪花曲线的周长可以无限长（每一边增大一轮就变为原边长三分之一的四边，也就是说，每一轮周长是原来的三分之四倍，无限下去周长也无限长。），但它却可以画在一个小小的格子中；它的尖端可以无限多，无数小尖尖布满了整个曲线，但它们彼此却不会相交。从20世纪70年代起，一个新兴的数学分支——分形几何遂步形成，它的研究对象就是具有自相似性的图形。

　　再看一个分形图形的例子。画一个大的正五边形，接着画出内嵌的5个小正五边形(如果算上中同的一个小正五边形，则正好是6个)；在每个小正五边形内再画出5个更小的正五边形（图5）；继续下去，不断重复此过程，就可以得到有无穷自相似结构的分形图形（图6）。