有理数的来历：人类最初认识的是自然数，为了解决小的数减大的数（例如1-2）不能用自然数来表示结果的问题，引入了自然数的相反数；又为了解决除法的问题（例如1÷2没有办法表示），又引入了分数，这样分数与自然数及它的相反数相对。为了表述上的方便，把自然数与它的相反数统称为整数；后来毕达哥拉斯学派的希帕苏斯（Hippasus，公元前5世纪）发现了正方形的对角线与边长不可公度——度，即度量，不可公度就是没有共同的量度单位（无论单位有多小，都不可以同时以整数量完）。这些量在数上的反映，后来就成了无理数。这样无理数与整数和分数相对，为了表述的方便，同样的把整数和分数统称为有理数。相反数的知识：最初为了解决不能用自然数表示全部减法结果的问题，引入了自然数的相反数。相反数是相互的，相反数的相反数是它本身，相反数适用于实数集。答案：A

轴对称图形与图形轴对称：轴对称图形来源于图形轴对称，但它们不是相同的概念。图形轴对称是一对图形至少有一条对称轴。研究图形轴对称的过程中，发现某些图形可以至少有一条对称轴把它切为两个图形，这两个图形轴对称，我们就把这种图形叫做轴对称图形。轴对称图形是图形的本身特性，图形轴对称是指两个图形的相似方式。图形旋转与旋转对称图形：一个图形，以图形的边上或外面的一点为转轴转动，就是图形旋转；我们发现某些图形以图形内部的一点为转轴，转动一个角度后能够完全与自己重叠，这样我们把这类图形叫做旋转对称图形。
旋转对称图形与中心对称图形：旋转对称图形有一个产生重叠的最小转角，如果这个角至少有一个整数倍是平角（180°），那么这个旋转对称图形就是中心对称图形。轴对称图形与中心对称图形的判定方法：首先用我们的本能定位图形的中心（人类的大脑有超强的图像计算能力，这个能让计算机崩溃的问题，人类可以轻而易举的完成），然后经过这个中心点和图形中的某些关键点（一般是图形的顶点）能否把图形分为图形轴对称的两个图形，如果能找到这样一条直线，那么这个图形就是轴对称图形；以这个中心点转动图形180°，看看能否重叠来判断是否是中心对称图形。答案：A
知识要点：科学记数法是等值把小数点移到第一个非0数之后，指数的绝对值是移动位数，向左为正，向右为负。答案：B
知识要点：平行线三个互为充要条件的命题：平行线内错角相等；平行线同位角相等；平行线同旁内角互补。
答案：D
知识要点：分式运算与分数运行一样，同分母分子相加减，不同分母先通分。答案：C
知识要点：长度是1的线段上一点把它分为长短的两条线段，长线段是原线段与短线段的比例中项，这种分割叫黄金分割，长线段的长是黄金分割数（无理数）。如下图，1/x=x/1-x，得方程
x²+x=1，解得正根即黄金分割数x=(√5 - 1)/2≈0.618。黄金分割的作图方法：
第一步，作出线段中点。

第二步，作一端点的垂线及半径为½的圆。

第三步，连接垂线与½半径的圆的交点和另一端点得斜边，斜边与½半径的圆交点侧截去½，剩下的作为半径，另一端点为圆心作圆与原线段的交点即为黄金分割点。

简单证明：∵ AC²=AB²+BC²=5/4AB²，∴ AC=√5/2AB，∵ DC=½AB，∴ AD/AB=(√5 - 1)/2。答案：A
知识要点：概率是一个极限，也就是一个随机样本的样本数趋向无穷大时，某种情况出现的几率。数学家们发现概率等于随机本体中随机对象的占比。思路分析：“烹饪”这个对象在本体（“种植”、“烹饪”、“陶艺”、“木工”）中占比是1/4，所以概率是1/4。答案：C
知识要点：不等式组是所有不等式的交集。答案：D
知识要点：初中需要掌握的有关圆的知识——等弧或弦对应（优劣相同）圆周角相等和圆心角相等；直径所对的圆周角是直角；圆切角与对应的圆周角相等；等弦到圆心的距离相等；经过切点与圆心的直线垂直于该切线，反过来，经过圆上一点与直径垂直的的直线与圆相切。思路分析：∠D与∠ABC对着同弧AC，因此相等，AB是直径，所以∠ACB=90°，由已知条件可得结果。答案：B
抛物线的一些特性：二次系数，决定开口大小和方向：大于0，开口向上，有最小值；小于0，开口向下，有最大值。如下图：过最大或最小值点的平行于y轴的直线是抛物线图像的对称轴。如下图：平行于x轴的直线如果与抛物线交于不同的2点，那么这两点关于对称轴对称（假设对称轴是x=a，两个交点的x坐标是x1,x2，那么x1+x2=2a）。如下图：当与x轴相交于两个点，那么这两个点的x坐标是一元二次方程的两个实根。两个实根之和与积与函数的系数有对应关系：a(x-x1)(x-x2)=ax²+bx+c，ax²-a(x1+x2)x+ax1x2=ax²+bx+c，
所以 x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
抛物线的两种解析式与它们之间的换算：普通式y=ax²+bx+c，顶点式y=a(x+p)²+q（顶点是(-p,q)），p，q与b，c的换算关系：a(x+p)²+q=ax²+bx+c，ax²+2apx+ap²+q=ax²+bx+c，所以 p=b/2a，q=c - b²/4a。x=0时，得到在y轴上的截距ap²+q。在研究函数图像时，往往使用顶点式。思路分析：B是顶点，所以c=OB，A点坐标是(c/2，c/2)，因此c/2=a(c/2)²+c。答案：B
知识要点：因式分解尝试优先顺序——提取公因式，x²+(p+q)x+pq模式分解，abx²+(aq+bp)x+pq模式分解，平方差公式，完全平方公式，奇数幂之和或差（例如：x³+1、x³-1）。答案：(x-1)(x+1)
知识要点：指数运算与幂运算的对应（开方可以认为指数½）：同底幂相乘<==>指数相加
同底幂相除<==>指数相减异底同指数幂相乘<==>指数不变，底相乘异底同指数幂相除<==>指数不变，底相除幂之幂<==>指数相乘幂开方<==>指数相除答案：6
知识要点：物理公式也是一个函数。
答案：4
思路分析：由于知道进阶和利润率，这样可以算出最终售价，与原来的标价之比可得。
答案：8.8
思路分析：要求的面积显然不能直接计算，但它所处的正方形的另外一部分就可以计算的，因为高已知，上下底可求。
答案：15
（1）代数式运算要点：开平方或开立方时，先把底数分解为2个因数的积，第一个是平方数或立方数，第二个是商，第一个因数开方后写在根号左边，第二个留在根号内，如果底数是一个平方数或立方数就没有根号部分。需要记住的锐角三角函数（sin,cos,tan）的角度是30°、45°和60°。不用死记硬背，30°和60°是一块三角板（三边分别是1，√3，2），45°又是另外一个三角板（三边分别是1，1，√2）。非0数的0次方都是1。（2）知识要点：两点确定一直线，联立方程组可确定解析式。 【解答】（1）原式=2+5-1=6（2）把(0,1)代入函数得b=1，把b=1和点(2,5)代入函数得2k+1=5，解得k=2，
所以函数解析式是：
y=2x+1。

【网络答案】

知识要点：列方程的要点——把未知数和已知数同样对待，找等量关系。思路分析：甲乙的速度都未知，因此有两个未知量，很明显题目提供了2个等量关系，因此可解。

 【解答】设乙的速度是x km/min，则

12/x-12/1.2x=10，解得 x=0.2答：乙的速度是0.2km/min.

【网络答案】

知识要点：等腰三角形三线合一。

思路分析：由等腰三角形的性质，可知∠C的角平分线是AB上的高，问题可解。 【解答】如下图，连接AB，作AB上的高，垂足是D，∵ AC=CB，等腰三角形三线合一，∴ CD是∠ACB的平分线，AB=2AD，∴ ∠ACD=∠BCD=∠ACB/2=50°，∴ AB=2·10sin50°=2*10*0.766≈15.3（米）

【网络答案】

知识要点：（1）相交圆的圆心连线垂直平分交点连线段。（2）初中需要记住的三个锐角三角函数（正余弦、正切）：30°、45°、60°，以及掌握由角平分线性质和勾股定理推导15°和22.5°的锐角三角函数。思路分析：（1）以A为圆心AD为半径和以B为圆心BD为半径的两个圆除了交点D为，必然还有另外一个交点，连接两个交点，即可作出。（2）AE可通过锐角三角函数计算，则BE可算。 【解答】（1）下图

（2）BE=AB-AE=6-4cos30°=6-2√3。

【网络答案】

思路分析：用俯视图可以把∠A1B1C1投射到与∠ABC的同一个平面上，大小关系和证明方法都非常明显了。
 【解答】（1）∠ABC=∠A1B1C1
（2）把正方体的俯视图画在原来的纸板上，如下图，连接AC，
∵ 在Rt△BCP和Rt△CAQ中，
BP=CQ
PC=QA
∴ Rt△BCP≌Rt△CAQ，∴ ∠PBC=∠QCA，∠PCB=∠QAC，BC=BC，
∵ ∠PCB+∠BCA+∠QCA=180°，∠PCB+∠QCA=90°
∴ ∠BCA=90°，
∴ △BCA是等腰直角三角形，
∴ ∠ABC=∠A1B1C1=45° 。
【网络答案】

数据统计中的指标：平均数，总数除以个数，反映样本数据的平均水平。中位数，样本排序后中间的一个值（奇数个数）或两个值的平均值（偶数个数），反映样本的中间水平；中位数与平均数的差距反映样本的概率分布的对称状况，差距越小越对称。众数，样本中出现次数最多的数（注意：是数本身不是次数），众数反映数据的集中趋势；如果样本每个数出现的次数都一样，那么就没有众数；如果样本有多个数出现的次数都最多，那么它们都是众数。方差，度量随机变量和其数学期望值之间的偏离程度；数据统计中的方差是一种特殊的方差，是指每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数（即把样本平均数作为期望值的方差）。为了更深入理解期望值，下面举例说明。如下图，如果把y=x+5当作期望值，那么方差=(1+9+16+1)/4=6.75；如果把y=4当作期望值，那么方差=(64+0+0+100)/4=41。

 【解答】（1）a=(18+20)/2=19，
b=25+(0+4-2-0+2+1+6+3+5-1)/10=26.8
c=25（2）从平均数来看，应该选择A线路，但A的方差大，用时不稳定，说明A线路道路状况不好（可能经常塞车），因此建议选择B线路。

【网络答案】

（1）思路分析： 如果CA'⊥AA'，那么因为OE⊥AA'，所以CA'//OE；反过来也一样。由三角形中位线的性质可证。
【（1）证明】∵ DB和AC是矩形ABCD的两条对角线，交于O点，∴ AO=OC，∵ A'是A关于BD的对称点，
∴ AE=EA'，AA'⊥BD，∵ 在△AA'C中，AE=EA'，AO=OC，
∴ OE是△AA'C的中位线，∴ OE//A'C,∴ AA'⊥CA'。

【网络答案】

（2）① 思路分析：如果AA'=√3CA'，那么∠A'AC=30°，反之亦然（互为充要条）；如果∠A'AC=30°，那么∠DAE=∠A'AC=∠OAB，反之亦然（互为充要条）；因此我们只要证明∠DAE=∠A'AC=∠OAB即可。由角平分线的性质不难证明∠A'AC=∠OAB，问题得证。【（2）①证明】如下图，另○O与DC的切点是P，链接PO并延长交AB于Q点，∵ 矩形ABCD中，O是对角线的交点，○O与CD相切、半径=OE，∴ OP=OE=OQ，OQ⊥AB∴ AC是∠A'AB的平分线，
∴ ∠A'AO=∠BAO，∵ OA=OB，∠EOA=∠BAO+∠ABO，∠EOA+∠A'AO=90°，
∴ 3∠A'AO=90°，∴ ∠A'AO=30°，∴ AA'tan30°=CA'，∴ AA'=√3CA'。

【网络答案】

（2）② 思路分析：如果知道圆的半径，就可以求出圆的面积。问题转化为求OE的长度，OE和AE不在一个三角形内，那么三角形AEO是不是等腰三角形呢？把切点用上，这个问题不难解决。最后的问题是45°角的一半的余弦值，用角平分线的性质可求。【（2）②解答】②令○O与A'C的切点是P，连接OP，如下图，

∵ CA'⊥A'A，OE⊥A'A，OP⊥A'C，OE=OP，
∴ 正方形OPA'E。∴ EA'=EO，
∵ A'是A关于DB的对称点，
∴ EA'=EA，∴ EA=EO，∵ OE⊥EA，
∴ ∠EAO=45°。
∵ ∠AOE=∠OAB+∠OBA，∠OAB=∠OBA，
∴ ∠OAB=22.5°，
∴ ∠DAE=90°-45°-22.5°=22.5°。∵ AD=1
∴ ○O的半径r=AD·cos22.5°=cos22.5°。
∴ ○O面积S=πr²=πcos²22.5°=π(2+√2)/4。
【网络答案】

 （1）思路分析：几何图形的旋转，各点的旋转角度一样。【（1）解答】当∠COF=22.5°时，OE=OF；
【网络答案】

（2）思路分析：由（1）的分析，可以得到OA与x轴的夹角=OC与y轴的夹角，因此不难了。
【（2）解答】过A点作x轴的垂线，交于G点，如下图，

在Rt△OCF和Rt△OGA中，
∵ ∠COF=∠GOA，∴ Rt△OCF∽Rt△OGA∴ FC/AG=OC/OG=OA/OG，
∵ AG=3，OG=4，OA²=3²+4²，∴ OA=5，
∴ FC=3×5/4=15/4。
【网络答案】

（3）思路分析：在分析前，有必要认识一下物理函数（物理公式）和数学函数的区别。一般在数学函数中两个变量只要能建立恒等式（变化中保持相等），把等号右边的变量称为自变量，左边的称为因变量。物理函数在数学函数的基础上做了一些限制，因变量是物理基本的物理量（例如：长度、时间、角度、质量等）。从物理运动学的角度分析这题，这样一个运动体系，转角是它的基本变化物理量，因此我们需要用转角去表达两个面积差和AN的长度，然后通过转角关联这两个因变量。因为三角形面积等于一对邻边的乘积乘它们的角的正弦值，所以面积差不难表达；那又如何表达AN呢？不能忘了AC是正方形的对角线，只要画出另一条对角线，问题就迎刃而解了。总结：近年来，中考经常出现与运动学有关的题目，跳出数学的坑，从物理学的角度分析问题，问题往往会变得很简单。
【（3）解答】连接OB，交CA于Q，如下图，
∵ S2=½OC·CF=½OC²·tanα，∵ S1=½OF·ON·sin45°       =½OC/cosα·OQ/cosα·(1/√2)      (∵ OQ=OC/√2）       =½OC²/(2cos²α)     （∵ sin²α+cos²α=1）
       =¼OC²(tan²α+1)    ∴ S=S1-S2=¼OC²(tan²α-2tanα+1)=¼OC²(tanα-1)²，∵ QN=OQ·tanα，AQ=OQ=OC/√2，  ∴ QN=AQ-AN=OQ-n，∴ OQ·tanα=OQ-n，∴ tanα=1-n/OQ，∴ S=¼OC²(-n/OQ)²=n²/2。
【网络答案】