思路分析：由于公共边BC，两对相似三角形的边比例值，相加显然是1。【简解】△CFE∽△CBA  得 EF/AB = CF/CB；
 △BFE∽△BCD  得 EF/CD = BF/CB；两式相加得 EF/AB + EF/CD = CF/CB + BF/CB = 1。
EF = AB·CD/(AB + CD) = 90·60/(90+60)=36。
答案：36

思路分析：要求OC，但OC不在任何现存的三角形中，为此延长CD和FE交于G，连接OG，如下图，△DEG是等边三角形，OC可解。

【简解】延长CD和FE交于G，连接OG，如上图，∵ ∠GDE=∠GED=60°，
∴ △DEG是等边三角形，
∴ CG=4cm，∠CGO=30°，∴ OC=(4/3)√3。
答案：(4/3)√3

思路分析：实际是EF的长，由条件可知道菱形的边长是5，Rt△CMD的边长就可以确定了，为了计算EF，很自然过E作EH⊥CF，垂足H。到此，要直接算出EF还是有点难，为了简化计算，把它设为未知数，可解。

【简解】CD=CF=CM+FM=5，由勾股定理可得MD=3，如上图，过E作EH⊥CF，垂足H。
∵ ∠F=∠D
∴ Rt△EFH∽Rt△CDM，
设EF=5x，那么EH=CH=4x（∵∠ECH=½90°），FH=3x，
∵ CH+HF=5，∴ 4x+3x=5，∴ x=5/7，即
∴ BE=EF=25/7。
答案：25/7。

思路分析：由于四边形AGCH也是平行四边形，可得BG=DH，加上要求证的BE=DF和∠HDF=∠GBE，可见△BGE≌△DHF，问题转化为求证△BGE≌△DHF，由ASA条件得证。
【证明】∵ 平行四边形ABCD，
∴ AD//BC，AD=BC，∠HDF=∠GBE，∠HAG=∠BGE，∵ HC//AG,
∴ 平行四边形AGCH，
∴ ∠DHF=∠HAG，AH=CG
在△BGE和△DHF中，
∠HDF=∠GBE，DH=AD-AH=BC-GC=BG，
∠DHF=∠BGE，∴ △BGE≌△DHF，∴ BE=DF。

思路分析：流速和时间构成水量，为了求时间，先求水量。
【解答】设30°C和100°C的水的时间分别是x、y，那么它们的水量分别是:m1=20xm2=15y，代入公式得方程组：20x+15y=280,
60=(600x+1500y)/280，
解得，
x=8，
y=8，
答：30°C和100°C的水的时间都是8秒。

（1）思路分析：生活中的直觉，影子往往都是变长的，但由相似三角形的性质我们不得不接受它不变。由于运动过程中，OC和OD都是变化的，使用它们会造成证明不变有麻烦。相似三角形除了边成比例外，还有其它线都是成比例的，用三角形的高，问题就解决了。
【（1）证明】过O作AB和CD的垂线，与BA和DC的延长线分别交于EF，如图2，
∵ AB//CD
∴ △OAB∽△OCD，
∴ AB/CD=OE/OF，
∵ AB、OE和OF都是定值，
∴ CD也是定值。
（2）思路分析：由于OC不变，那么∠COD决定CD的长，可见当AB⊥OD时CD最长，由于AB=AE，那么这时B点是E点关于OA的对称点，按对称点的作图法作图。
【（2）作图】第一步：以O为圆心，OE为半径作圆，第二步：以A为圆心，AB为半径作圆，与第一步的圆交于B'（不是E），
第三步：连接AB'，过O和B'作射线，与CD的延长线交于D'点。
（3）思路分析：把图分离后如下，
为了计算CD的长，但它不在一个可计算的三角形上，因此过C，作OD的垂线，如下图，显然可解。
【解答】过C，作OD的垂线交OD与G，如上图，∵ AE=AB，AE⊥OF，AB⊥OD，
∴ OC是∠FOD的平分线，
∴ CG=CF，∵ AE//CF，
∴ AE/CF=OE/OF=36/96=3/8，∴ CG=CF=8/3AE=48。∵ ∠D=∠D，∴ Rt△DFO∽Rt△DGC，∴ DG/DF=CG/OF=48/96=1/2，∴ DG²/DF²=1/4。设CD=x，那么x²-48²=¼(x+48)²，解方程得正根x=80。∴ 影子CD最大值是80。

抛物线的一些特性：二次系数，决定开口大小和方向：大于0，开口向上，有最小值；小于0，开口向下，有最大值。如下图：过最大或最小值点的平行于y轴的直线是抛物线图像的对称轴。如下图：平行于x轴的直线如果与抛物线交于不同的2点，那么这两点关于对称轴对称（假设对称轴是x=a，两个交点的x坐标是x1,x2，那么x1+x2=2a）。如下图：当与x轴相交于两个点，那么这两个点的x坐标是一元二次方程的两个实根。两个实根之和与积与函数的系数有对应关系：a(x-x1)(x-x2)=ax²+bx+c，ax²-a(x1+x2)x+ax1x2=ax²+bx+c，
所以 x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
抛物线的两种解析式与它们之间的换算：普通式y=ax²+bx+c，顶点式y=a(x+p)²+q（顶点是(-p,q)），p，q与b，c的换算关系：a(x+p)²+q=ax²+bx+c，ax²+2apx+ap²+q=ax²+bx+c，所以 p=b/2a，q=c - b²/4a。x=0时，得到在y轴上的截距ap²+q。在研究函数图像时，往往使用顶点式。（1）思路分析：a<0，说明，抛物线开口向下，因此只要它的顶点y坐标大于0，与x轴就有2个交点，把函数转化为顶点式，问题就解决。
【（1）证明】函数可以转化为
y=a(x-1)²+3-a，
∴ 函数顶点坐标(1,3-a)，
∵ a<0，
∴ 抛物线y=ax²-2ax+3开口向下，且顶点y坐标3-a>0，∴ 抛物线y=ax²-2ax+3与x轴有两个公共点。（2）思路分析：a=-1，由（1）可得函数顶点解析式y=-(x-1)²+4，-1<x<0，自然不能使函数式≤0。【（2）证明】由（1）和a=-1，得函数的解析式
y=-(x-1)²+4，当-1<x<0时，-4<-(x-1)²<-1，
∴ y=-(x-1)²+4>0。（3）思路分析：抛物线二次系数绝对值大小决定抛物线开口的大小，绝对值越大，开口越小，因此只要求a绝对值的最小值。由于对称轴是x=1，因此实际的范围是-1<x1<x2<3。也就是说，当a>0时，x=-1，函数值y>0，且x=1时，y<0；当a<0时，x=-1，函数值y<0，且x=1时，y>0。
【解答】①当a>0时，x=-1，函数值3a+3>0，得
a>-1，且x=1时，函数值-a+3<0，得
a>3，
综合是a>3。②当a<0时，x=-1，函数值3a+3<0，得a<-1，
且x=1时，函数值-a+3>0，得a<3，综合是a<-1。综合上述，a<-1或a>3。

（1）思路分析：要证明AC=CG，由于没有线可以对比，因此需要证明∠CAG=∠G，因为∠CAG+∠G=∠ACB，那么只要证明∠ACB=2∠CAG即可，由于∠ABC=∠ACB，不难证明∠ABC=2∠CAG。
【（1）证明】∵ AB=AC，
∵ ∠ABC=∠ACB，∵ OF⊥AC，∴ 弧AFC=2弧FC，∴ ∠ABC=2∠CAG，∴ ∠ACB=2∠CAG，∵ ∠CAG+∠G=∠ACB，∴ ∠CAG=∠G，∴ AC=CG。（2）思路分析：如下图，令AB与EO交点是H，那么∠ABC、∠AHO、∠EHB、∠HEB都可以用∠BAC来表示，但找不到列方程的等量关系。为此，连接AE，那么由于EB=BA，那么∠ABC=2∠AEB，剩下的问题是如何用∠BAC表示∠AEB了。刚才已经表示了∠HEB，不难发现∠AEB=2∠HEB，可解。【（2）解答】令AB与EO交点是H，连接EA，如上图，设∠BAC=2α，那么∠ABC=90°-α∠EHB=∠AHO=90°-2α，
∴ ∠HEB=∠ABC-∠EHB=α.
∵ AC是○O的弦，EO⊥AC，
∴ EO是AC的垂直平分线，
∴ ∠AEH=∠HEB，∴ ∠AEB=2α，
∵ BA=BE，
∴ ∠AEB=∠EAB，
∵ ∠AEB+∠EAB=∠ABC，∴ 4α=90°-α，∴ 2α=36°,∴ ∠BAC=2α=36°.（3）思路分析：CG变大，实际是等腰三角形ABC的腰变长，由于底边的高是垂直平分线，作出这垂直平分线，垂足是H，如下图。

可以想象，A点从H点出发，但很接近H点时，E点在HC中点的H侧，即BE<9/2，AC>3，AC变大过程中，A远离H点，E点向B点移动，即EB减少，直到与B点重合，这时三角形是等边三角形，即AC=6，之后，BE随CG的增大而增大。相关的线在一对相似直角三角形中，问题得解。【（3）解答】当3<CG≤6时，CG增大，BE减少；当CG>6是，CG增大，BE也增大。以BC上的高AH，令AC与EF的垂足是K，如上图。设CG=AC=x，∵ 在Rt△AHC和Rt△EKC中，
∠ACH=∠ECK，
∴ Rt△AHC∽Rt△EKC，∴ EC/AC=KC/HC，∴ EC=(1/6)x²，
∴ BE=|EC-BC|=|(1/6)x²-6|，
当x=6时，BE=0，即与B重合，∵  AC>½BC，
∴ 当3<CG≤6时，CG增大，BE减少；当CG>6是，CG增大，BE也增大。

（1）思路分析：等边三角形的内角是60°，因此利用等边三角形作图方法旋转，放大2倍，是直径和半径的关系。【（1）作图】

（2）思路分析：线太多，很难直接看出它们的关系，那么我们不妨倒过来想，因为要证明它是平行四边形，那么它一定是平行四边形。因为条件都是相似图形，那么使用平行四边形的角性质——同旁内角和等于180°。先考察∠EDF+∠DEA=180°，不难推出∠BEA=BDC，因为不难推出∠ABE=∠CBD，所以△ABE∽△CBD。反过来，只要证明△ABE∽△CBD，就可以得到∠EDF+∠DEA=180°，由△BDE∽△BCA，问题可以解决；同理也可以证明∠EDF+∠DFA=180°。【（2）证明】∵ △BDE∽△BCA，∴ BE/BA=BD/BC，∠EBD=∠CBA，∴ BE/BD=BA/BC，∠EBD+∠DBA=∠CBA+∠DBA，即 ∠EBA=∠DAC，∴ △EBA∽△DAC  （SAS）∴ ∠BEA=∠BDC，∵ △BDE∽△DCF，∴ ∠FDC=∠EBD，∴ ∠EDF+∠DEA=∠EBD+∠BEA+∠EDB+∠DEA=180°。∴ DF//EA.同理可得，ED//AF，∴ 四边形AEDF是平行四边形。（3）思路分析：①邻边相等，②有一个角是90°的平行四边形是正方形。为此，我们要更深刻的理解题意——本题定理（建议以首次命题人的姓名命名该定理放入教科书）：以三角形一边的两端点为不变点缩放三角形，缩放比之和大于1，以这边的两端点为中心，同侧以相反的方向旋转缩放后的三角形，当这边两端点的对应点重合时，三个三角形除了这边的两端点外，剩下的4个顶点连线是一个平行四边形。由于AB=2AC，因此右侧缩放比务必是左侧的2倍（右侧是a>⅔，左侧是½a，a+½a>1），即DB=2DC（满足①邻边相等）；由（2）证明可知∠BDC=∠BAC-90°=60°（满足②有一个角是90°）。综合条件，只有一个锐角是60°的直角三角形。【（3）解答】①作图：第一步：延长BC，过C作BC的垂线：

第二步：以B为顶点，BC为一边作60°角：

第三步：作第二步的角的平分线，与第一步的垂线相交于D点，即为所求。

②计算，

∵ AEDF是正方形，△ABC∽△FDC，
∴ AE=DF=AB·DC/BC=2/√3=⅔√3.