一、多边形的构成
三条或三条以上线段，首尾相接，不凹陷所构成的图形叫多边形。
二、多边形的性质
（1）任一边小于其他边的和。 说明：两点距离，连接两点的线段最短。
（2）内角和等于边数个平角和减1个周角。说明：三角形的内角和推论。
三、正多边形
（1）边全等和内角全等的多边形叫正边形。
（2）正多边形都是轴对称图形，对称轴的数量与边数相同。
（3）所有对称轴相交于一点，我们不妨把这点叫做“图形中心”，这点一定是图形的重心。
（4）图形中心与顶点连接成了腰全等的三角形，由于底也全等，这些等腰三角形是全等的，这样底边的高也全等。
（5）底边数超过4的正多边形，只有正六边形可以密铺。说明：一个周角等于二个平角，正多边形的内角不可能是平角，因此，密铺至少要三个角构成一个周角，也就是说内角不可以大于120°。正六边形的内角是120°，超过六边就大于120°了。而且正五边形内角大于90°小于120°，不可能密铺。
【正五边形密铺测试】
#Python 源码
import turtle
turtle.shape("turtle")
turtle.forward(120)
turtle.right(72)
turtle.forward(120)
turtle.right(72)
turtle.forward(120)
turtle.right(72)
turtle.forward(120)
turtle.right(72)
turtle.forward(120)
turtle.left(36)
turtle.forward(120)
turtle.right(72)
turtle.forward(120)
turtle.right(72)
turtle.forward(120)
turtle.right(72)
turtle.forward(120)
turtle.left(144)
turtle.forward(120)
turtle.right(72)
turtle.forward(120)
turtle.right(72)
turtle.forward(120)
turtle.right(72)
turtle.forward(120)
【正六边形密铺测试】
#Python 源码
import turtle
turtle.shape("turtle")
turtle.forward(100)
turtle.right(60)
turtle.forward(100)
turtle.right(60)
turtle.forward(100)
turtle.right(60)
turtle.forward(100)
turtle.right(60)
turtle.forward(100)
turtle.right(60)
turtle.forward(100)
turtle.left(60)
turtle.forward(100)
turtle.right(60)
turtle.forward(100)
turtle.right(60)
turtle.forward(100)
turtle.right(60)
turtle.forward(100)
turtle.right(60)
turtle.forward(100)
turtle.left(180)
turtle.forward(100)
turtle.right(60)
turtle.forward(100)
turtle.right(60)
turtle.forward(100)
turtle.right(60)
turtle.forward(100)
turtle.right(60)
turtle.forward(100)
四、正多边形向圆转化
但正多边形的边数变大，形状越来越靠近圆，到无穷多边时就是数学上的圆，正多边形的中心就演变成圆的圆心。数学上的圆在客观世界是不存在的。
【正多边形向圆转化的演示】
#Python 源码
import turtle as t
t.setup(1024,650)
t.screensize(800,600)
t.penup()
t.setpos(-200,280)
t.pendown()
t.shape("turtle")
len=1800 #2*2*3*3*5
ns=[3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,30,36,45,90,180]
c="blue"
for n in ns:
bang=len/n
jiao=(180*n-360)/n
if c=="blue":
c="green"
else:
c="blue"
t.fillcolor(c)
t.begin_fill()
for i in range(n):
t.forward(bang)
t.right(180-jiao)
t.end_fill()
五、圆的性质
（1）由到一点的距离相等的闭合曲线围成的图形称作圆，这点叫圆心，这个距离叫半径，这条曲线叫圆周。
（2）一条直线穿过圆的内部，被圆所截的线段称作弦，如果这弦通过圆心，称作直径，直径等于两倍半径。所有的弦中，直径最长。
（3）圆被直径所分开的两半，每半圆周称作半圆弧。
（4）圆被非直径的弦分开的两部分，含圆心的图形的圆周称作优弧，否则是劣弧。
（5）以弦为底边，顶角在圆周上，这样的三角形的顶角是圆周角。圆周角的大小只与它在弦的那一边有关，与同一边的位置无关。当这弦是直径，圆周角是直角；其他情况：当顶点在优弧是锐角，当顶点在劣弧是钝角。
（6）当直线与圆只有一个共同点，这直线就是这圆的切线，这一点就是切点。过切点的弦与这切线的夹角称作圆切角。圆切角中含优弧的是钝角；含劣弧的是锐角；含半圆周的当然是直角，这时这弦与切线垂直。过切点与切线垂直的直线过圆心。
六、圆直径测量
（1）在实际生产中用游标卡尺测量圆的直径：
（2）测量原理：平行线与圆都相切，切点连线与平行线垂直并通过圆心，则切点的距离就是直径。
七、圆心的确定
（1）原理：两条直径相交，交点是圆心。
（2）方法1：弦的中垂线过圆心，做两条不平行的弦的中垂线相交既是圆心。
（3）方法2：90°圆周角所对的弦是直径，只要在圆中作2个直角三角形，顶点都在圆弧上，斜边不重叠，斜边交点是圆心：
（4）确定圆心方法3：与圆相切的平行线，切点连线是直径，用两组不平行的平行线与圆相切，切点连线的交点是圆心：
八、练习题
1、下面说法正确的是：
（1）三条或三条以上线段，首尾相接，不凹陷所构成的图形叫多边形。
（2）多边形任一边小于其他边的和。
（3）十九边形内角和是3060°。
（4）正多边形边全等，但内角不一定全等。
（5）正多边形都是轴对称图形，对称轴的数量是边数多1。
（6）正多边形所有对称轴相交于一点，是“图形中心”，也是图形的重心。
（7）图形中心与顶点连线把正多边形分割为全等的等腰三角形。
（8）底边数超过4的正多边形，只有正六边形可以密铺。
（9）圆周到圆心的距离都相等，这个距离叫半径。
（10）连接圆周上不同点的线段是这个圆的弦。
（11）通过圆心的弦是直径。
（12）直径等于两倍半径。
（13）所有的弦中，直径最长。
（14）圆周被直径所分开的两半，每半圆周称作半圆弧。
（15）圆被不过圆心的弦分开的两部分，含圆心的图形的圆周称作优弧，否则是劣弧。
（16）以直径为底，顶点在圆周上的三角形，不管顶点在什么位置，顶角都是直角。
（17）以不过圆心的弦为底，顶点在优弧上，顶角一定是钝角，并且不管顶点在优弧的什么位置，顶角都相等。
（18）以不过圆心的弦为底，顶点在劣弧上，顶角一定是锐角，并且不管顶点在优弧的什么位置，顶角都相等。
（19）切线与过切点的弦的夹角是圆切角。
（20）当圆切角是直角时那弦是直径。
（21）当圆切角所含的弧是优弧，一定是锐角。
（22）当圆切角所含的弧是劣弧，一定是钝角。
2、用不同的三种方法确定下面圆的圆心：
附录：助记词
多线段，能连环，不凹陷，多边形。
任一边，必小于，其它边，总加和。
边数个，平角和，减周角，内角和。
边全等，角全等，称之为，正边形。
正边形，轴对称，轴数量，等边数。
对称轴，交一点，称之为，图中心。
图中心，连顶点，三角形，腰全等。
图中心，到边距，是底高，亦全等。
超过四，唯有六，能密铺，应用广。
正边形，边越多，三角瓣，腰高近。
到无数，三角瓣，腰等高，称作圆。
图中心，称圆心，图曲线，称圆周。
从圆心，到圆周，连接线，称半径。
如圆周，截直线，得线段，称作弦。
此圆周，被截开，成两份，称作弧。
大半周，称优弧，小半周，称劣弧。
等半周，半圆弧，连线段，是直径。
距心近，弦越长，过圆心，称直径。
弦中垂，是直径，双直径，交圆心。
圆触线，称切线，接触点，称切点。
平行线，与圆切，切点距，亦直径。
两条弦，共一端，成一角，圆周角。
对优弧，是钝角，对劣弧，是锐角。
如对着，半圆弧，必定是，一直角。
如钝角，对优弧，如锐角，对劣弧。
如直角，半圆弧，找直径，可用此。
顶圆周，一边切，一边割，圆切角。
含优弧，是钝角，含劣弧，是锐角。
如含着，半圆弧，必定是，一直角。
如钝角，含优弧，如锐角，含劣弧。
如直角，半圆弧，直角尺，量直径。