一、什么是体积

        数学里的几何体有而且只有形状和大小两种属性，忽略几何体的形状，只考虑它的大小，也就是占空间的多少，就是体积。

二、体积的单位

    （1）单位长度的正方体是体积的单位，可以有立方米（m³）、立方分米（dm³）、立方厘米（cm³）等。

    （2）为了区分容器体积和它所能容纳的体积，就提出了容积的概念。容积就是器皿所能容纳的体积。容积在单位上增加了2个辅助单位：升（L）对应于立方分米（dm³）、毫升（mL）对应于立方厘米（cm³）。

三、长方体的体积

    （1）把长方体的长宽高按单位长度切分，可以得到单位长度的立方体，这些立方体的数量就是这个长方体的体积。每层有“长×宽”个，一共有“高”那么多层，因此：

长方体的体积=长×宽×高

V=a×b×h

    （2）由于“长×宽”实际就是长方体的底面积，所以：

长方体的体积=底面积×高

V=S底×h

四、柱体的体积

        长方体属于柱体，它的体积计算方法可以推广到柱体：

柱体的体积=底面积×高

V=S底×h

五、圆柱的体积

        圆柱属于柱体，因此：

圆柱体积=底面积×高

V=S底×h

V=πr²h

六、等体积定理

        等面积定理可以推广到等体积定理：底相等并在同一平面上，任一平行于底的平面被2个立体所截的面积恒相等（就是说即使变化，也能保持相等），这两个立体的体积相等。

七、四面体的体积

    （1）在四面体的一个顶点，做一个相同而且平行于底的三角形（对应边也平行），连接另外2个对应顶点就得到一个柱体，根据柱体的体积公式得到：

V柱=S底×h

    （2）容易看出添加上去的立体是个底是平行四边形的棱锥，过平行四边形的一条对角线和顶点的平面可以把这个棱锥体分为2个四面体，由等体积定理可以得到这2个四面体的体积相等；同理可以得到原来的四面体和其中的一个四面体也构成一个底是平行四边形的棱锥，可见三个四面体的体积是相等的，所以：

四面体的体积=一个三角形底的底面×高÷3

V=⅓S底×h

八、圆锥的体积

    通过顶点垂直把圆锥切分为三角瓣，每一个三角瓣可以认为是个四面体，这四面体的体积自然就是相应的三角柱体的三分之一，可以得到：

圆锥的体积=⅓同底等高的圆柱的体积

V=⅓πr²h

九、练习题

1、计算下面立体的体积

    （1）长宽高分别为25cm、19cm和16cm的长方体的体积。

    （2）底是三边分别为30dm、40dm和50dm的三角形，高80dm的柱体的体积。

    （3）底半径是10cm，高是50cm的圆柱的体积。

    （4）底半径是20cm，高是75cm的圆锥的体积。

2、用等体积定理，计算河流的水储量   

附录：助记词

略形状，占空间，量多少，称体积。
正方体，最规范，成尺度，是单位。
若器皿，能容体，之体积，称容积。

长方体，底面积，乘上高，即体积。
长方体，属柱体，该方法，可推广。

形不同，平行面，截面等，体积等。

三角柱，一顶点，到对边，一棱锥。
剩下的，可再截，一棱锥，与上等。
另一份，也棱锥，易得到，亦相等。
锥体积，同底面，等高柱，三分一。
对圆锥，侧无数，同适应，不例外。

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